动态规划之爬楼梯问题

爬楼梯问题是一个常见的动态规划问题，它可以通过不同的方法来解决。以下是一些示例，以便您更好地理解这个问题：

示例 1：基础递归

int climbStairs(int n) {if (n <= 2) return n;return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}

这是一个基本的递归方法，但它效率低下，因为它会重复计算相同的子问题。

示例 2：带记忆化的递归

int climbStairs(int n, std::vector<int>& memo) {if (n <= 2) return n;if (memo[n] != 0) return memo[n];memo[n] = climbStairs(n - 1, memo) + climbStairs(n - 2, memo);return memo[n];
}

这个示例使用了递归，并且通过一个记忆化数组（memo）来避免重复计算，提高了效率。

示例 3：迭代方法

int climbStairs(int n) {if (n <= 2) return n;int a = 1, b = 2, c;for (int i = 3; i <= n; i++) {c = a + b;a = b;b = c;}return c;
}

这个示例使用迭代方法，使用两个变量 a 和 b 来保存前两阶的方法数，然后依次计算后续阶的方法数。

示例 4：矩阵快速幂

int climbStairs(int n) {if (n <= 2) return n;std::vector<std::vector<int>> matrix = {{1, 1}, {1, 0}};matrix = matrixPower(matrix, n - 2);return 2 * matrix[0][0] + matrix[0][1];
}std::vector<std::vector<int>> matrixPower(std::vector<std::vector<int>> matrix, int n) {if (n == 1) return matrix;if (n % 2 == 0) {std::vector<std::vector<int>> temp = matrixPower(matrix, n / 2);return multiply(temp, temp);} else {std::vector<std::vector<int>> temp = matrixPower(matrix, n / 2);return multiply(multiply(temp, temp), matrix);}
}std::vector<std::vector<int>> multiply(std::vector<std::vector<int>> A, std::vector<std::vector<int>> B) {std::vector<std::vector<int>> result(2, std::vector<int>(2, 0));for (int i = 0; i < 2; i++) {for (int j = 0; j < 2; j++) {for (int k = 0; k < 2; k++) {result[i][j] += A[i][k] * B[k][j];}}}return result;
}