算法进修Day-32

63. 不同路径II

难度：中等
题目要求：
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例1

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2

示例2

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

题解

由于每次只能向下或者向右移动，因此对于网格中的每个位置，到达该位置的路径数目需要通过相邻元素的路径数目计算得到。可以使用动态规划计算路径数目。

如果左上角 $obstacleGrid[0][0]$ 或右上角 $obstacleGrid[m-1][n-1]$ 为1时直接返回0

动态规划步骤如下

• 创建 $m\ast n$ 的二维数组 $dp$
• 当 $i=0,j=0$，路径 $(0,0)$ 上只有一个位置，路径数目为1，所以边界情况为 $dp[0][0]=1$
• 当 $i>0,j>0$，需要考虑如下方面
  • 当 $i=0,j>0$，只能从 $(i,j-1)$ 向右移动到 $(i,j)$，如果 $obstacleGrid[i][j]=0$ 则 $dp[i][j]=dp[i][j-1]$，如果 $obstacleGrid[i][j]=1$ 则 $dp[i][j]=0$
  • 当 $i>0,j=0$，只能从 $(i-1,j)$ 向下移动到 $(i,j)$，如果 $obstacleGrid[i][j]=0$ 则 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$，如果 $obstacleGrid[i][j]=1$ 则 $dp[i][j]=0$
  • 当 $i>0,j>0$，可以从 $(i-1,j)$ 向下移动到 $(i,j)$ 或从 $(i,j-1)$ 向右移动到 $(i,j)$，如果 $obstacleGrid[i][j]=0$ 则 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$，如果 $obstacleGrid[i][j]=1$ 则 $dp[i][j]=0$

所以，当 $i>0$ 或 $j>0$，动态规划转移方程如下：
$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}0,& \text{obstacleGrid[i][j]=1}\\ dp[i][j-1],& \text{obstacleGrid[i][j]=0 \& i=0 \& j>0}\\ dp[i-1][j],& \text{obstacleGrid[i][j]=0 \& i>0 \& j=0}\\ dp[i-1][j]+dp[i][j-1],& \text{obstacleGrid[i][j]=0 \& i>0 \& j>0}\end{array}$

根据动态规划的状态转移方程，计算 $dp[i][j]$ 的顺序可以是一下两种

• 从小到大遍历每个 $i$，对于每个 $i$ 从小到大遍历每个 $j$。该顺序为按行遍历
• 从小到大遍历每个 $j$，对于每个 $j$ 从小大大便利每个 $i$。该顺序为按列遍历

计算得到 $dp[m-1][n-1]$ 即为从左上角到右上角的路径的最小值的和

想法代码

class Solution
{public static void Main(String[] args){int[][] obstacleGrid ={new[]{0,0,0,0},new[]{0,1,0,0},new[]{0,0,0,0},new[]{0,0,1,0},new[]{0,0,0,0},};Solution solution = new Solution();int res = solution.UniquePathsWithObstacles(obstacleGrid);Console.WriteLine(res);}public int UniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid){int m = obstacleGrid.Length, n = obstacleGrid[0].Length;if (obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1){return 0;}int[][] dp = new int[m][];for (int i = 0; i < m; i++){dp[i] = new int[n];}dp[0][0] = 1;for (int j = 1; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++){dp[0][j] = 1;}for (int i = 1; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++){dp[i][0] = 1;}for (int i = 1; i < m; i++){for (int j = 1; j < n; j++){if (obstacleGrid[i][j] == 0){dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}}return dp[m - 1][n - 1];}
}

64. 最小路径和

难度：中等
题目要求：
给定一个包含非负整数的 _m_ x _n_ 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例1

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7

示例2

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

题解

由于每次只能向下或者向右移动，因此对于网格中的每个位置，到达该位置的路径数目需要通过相邻元素的路径数目计算得到。可以使用动态规划计算路径数目。

动态规划步骤如下

• 创建 $m\ast n$ 的二维数组 $dp$
• 当 $i=0,j=0$，路径 $(0,0)$ 上只有一个位置，最小路径和为 $grid[0][0]$，所以边界情况为 $dp[0][0]=grid[0][0]$
• 当 $i>0,j>0$，需要考虑如下方面
  • 当 $i=0,j>0$，只能从 $(i,j-1)$ 向右移动到 $(i,j)$，如果 $dp[i][j]=0$ 则 $dp[i][j]=grid[i][j]+dp[i][j-1]$
  • 当 $i>0,j=0$，只能从 $(i-1,j)$ 向下移动到 $(i,j)$，如果 $dp[i][j]=0$ 则 $dp[i][j]=grid[i][j]+dp[i-1][j]$
  • 当 $i>0,j>0$，可以从 $(i-1,j)$ 向下移动到 $(i,j)$ 或从 $(i,j-1)$ 向右移动到 $(i,j)$，到达 $(i,j)$ 最小路径和为两种情况的最小值，因此 $dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]+dp[i][j-1])+grid[i][j]$

所以，当 $i>0$ 或 $j>0$，动态规划转移方程如下：
$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i][j-1]+grid[i][j],& \text{i=0 \& j>0}\\ dp[i-1][j]+grid[i][j],& \text{i>0 \& j=0}\\ min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j],& \text{i>0 \& j>0}\end{array}$

根据动态规划的状态转移方程，计算 $dp[i][j]$ 的顺序可以是一下两种

• 从小到大遍历每个 $i$，对于每个 $i$ 从小到大遍历每个 $j$。该顺序为按行遍历
• 从小到大遍历每个 $j$，对于每个 $j$ 从小大大便利每个 $i$。该顺序为按列遍历

计算得到 $dp[m-1][n-1]$ 即为从左上角到右上角的最小路径和

题解

class Solution
{public static void Main(String[] args){int[][] grid ={new[] { 1, 3, 1 },new[] { 1, 5, 1 },new[] { 4, 2, 1 }};Solution solution = new Solution();int res = solution.MinPathSum(grid);Console.WriteLine(res);}public int MinPathSum(int[][] grid){int m = grid.Length, n = grid[0].Length;int[][] dp = new int[m][];for (int i = 0; i < m; i++){dp[i] = new int[n];}dp[0][0] = grid[0][0];for (int j = 1; j < n; j++){dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];}for (int i = 1; i < m; i++){dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];}for (int i = 1; i < m; i++){for (int j = 1; j < n; j++){dp[i][j] = Math.Min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];}}return dp[m - 1][n - 1];}
}