十进制小数与二进制小数互转

1、十进制小数转二进制小数

公式

小数 * 2得到n1, 将n1的整数作为二进制数第一位；
n1的小数 * 2得到n2, 将n2的整数作为二进制数第二位；
n2的小数 * 2得到n3, 将n3的整数作为二进制数第三位；
… 重复以上步骤，直到小数部分为0或者达到指定的精度即可。

例子一: 十进制0.1转二进制

0.1 * 2 = 0.2 →取整数部分0
0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
…

可以看到0.1转2进制不管怎么乘2结果小数位不可能为0，是一个无限循环小数，只能截取一部分。
我们再将获得的整数部分组合起来，
二进制为：0.00011001100110011001101（截取23位）

例子二: 十进制0.2转二进制

0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
…

0.2转2进制同样是一个无限循环小数，只能截取一部分。
二进制为：0.00110011001100110011011（截取23位）

例子三: 十进制0.3转二进制

0.3 * 2 = 0.6 →取整数部分0
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
…

0.3转2进制同样是一个无限循环小数，只能截取一部分。
二进制为：0.01001100110011001100110（截取23位）

例子三: 十进制0.5转二进制

0.5 * 2 = 1.0 →取整数部分1
…
二进制为：0.1

我们可以看出，0.1和0.2转二进制的时候就已经失去精度了。

截取无限循环数时，向上取舍。

截取n位时，判断(n+1)位是否为1，为1则n位+1，为0直接舍去。

0.1100截取为3位，第4位为0，直接舍去。
0.1001截取为3位，第4位为1，第3位+1 ----> 0.101

2、二进制小数转十进制小数

小数点后开始，依次乘以2的负一次方，2的负二次方，2的负三次方…

公式：

$小数第1位 * 2^{-1}$
$小数第2位 * 2^{-2}$
$小数第3位 * 2^{-3}$
$小数第4位 * 2^{-4}$
…
最后将所有计算结果求和，就能得到十进制小数了。

例子一：二进制0.1转十进制

$0.1*2^{-1}$ = 0.5

例子二：二进制0.01001100110011001100110转十进制

$0*2^{1} + 1*2^{-2}+ 0*2^{-3}+ 0*2^{-4}+ 1*2^{-5}+ 1*2^{-6}+ 0*2^{-7}+ 0*2^{-8}+ 1*2^{-9}+ 1*2^{-10}+ 0*2^{-11}+ 0*2^{-12}+ 1*2^{-13}+ 1*2^{-14}+ 0*2^{-15}+ 0*2^{-16}+ 1*2^{-17}+ 1*2^{-18}+ 0*2^{-19}+ 0*2^{-20}+ 1*2^{-21}+ 1*2^{-22}+ 0*2^{-23}$
= $0 + 0.25 + 0 + 0 + 0.03125 + 0.015625 + 0 + 0 + 0.001953125 + 0.0009765625 + 0 + 0 + 0.0001220703125 + 0.00006103515625 + 0 + 0 + 0.00000762939453125 + 0.000003814697265625 + 0 + 0 + 0.000000476837158203 + 0.000000238418579101 + 0$
= 0.299999952316284179