C++数位动态规划算法：统计整数数目

题目

给你两个数字字符串 num1 和 num2 ，以及两个整数 max_sum 和 min_sum 。如果一个整数 x 满足以下条件，我们称它是一个好整数：
num1 <= x <= num2
min_sum <= digit_sum(x) <= max_sum.
请你返回好整数的数目。答案可能很大，请返回答案对 109 + 7 取余后的结果。
注意，digit_sum(x) 表示 x 各位数字之和。
示例 1：
输入：num1 = “1”, num2 = “12”, min_num = 1, max_num = 8
输出：11
解释：总共有 11 个整数的数位和在 1 到 8 之间，分别是 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11 和 12 。所以我们返回 11 。
示例 2：
输入：num1 = “1”, num2 = “5”, min_num = 1, max_num = 5
输出：5
解释：数位和在 1 到 5 之间的 5 个整数分别为 1,2,3,4 和 5 。所以我们返回 5 。
提示：
1 <= num1 <= num2 <= 1022
1 <= min_sum <= max_sum <= 400

分析

a. 先考虑数位相等

DoSameLen函数处理数位相等。用动态规划，假定已经处理了i位，正在处理第i位。对于某种状态，我们只关心：一，位数和，取值范围[0, max_sum]，共max_sum+1种，大于max_sum的状态抛弃。二，上下界。非边界、上边界、下边界、上下界。如：num1=”121”,num2=”142”则”1”是上下界，"12"是下界，"13"是非边界、"14"是上边界。如果上下界，则当前位只能取值[num1[i],nums2[i]]。如果上边界，则只能取值[0,nums2[i]]。如果是下边界，则能取[nums1[i],9]。如果是非边界，则可以任意取值。

前一轮状态	当前条件	新状态
上下界	同时等于num1[i]和num2[i]	上下界
上下界	等于num1[i]	下界
上下界	等于num2[i]	上界
上下界	num1[i]和num2[i]之间	非边界
上界	等于num2[i]	上界
上界	小于num2[i]	非边界
下界	等于num1[i]	下界
下界	大于num1[i]	非边界
非边界	0到9	非边界

b. 优化掉上下界

上下界一定出现再最前面，且数量为1。当i为0时，有新的上下界，那说明num1[0]和num2[i]，只能选择num1[i]。当i大于0是，有新的上下界，那么num1[i]等于num2[i]，由于(i-1)也是上下界，所有num1和num2的前i+1个元素相同。由于第i为只能num1[i]，所以数量不变。
假定num1和num2的前i位完全相同，则前i位只有一个合法数。
这意味这num1和num2扔掉相同的前者，边界状态的数量不变。比如：
num1 = “112”和num2 = “115”，下界：115，非边界:113和114 上界：115。
num1 = “12”和num2 = “15”，下界：15，非边界:13和14 上界：15。
num1 = “2”和num2 = “5”，下界：5，非边界:3和4 上界：5。

c. 考虑数位不等

假定num1的长度为l1,num2的长度为l2，则分别:
Do(num1,string(l1,’9’)
for(int i = l1+1; i < l2 ;i++)
{
Do(‘1’+string(i-1,’0’),string(i,’9’);
}
Do(‘1’+string(i2-1,’0’),num2)
比如：
nums1 = “1”,nums2=”19”
Do(“1”,”9”)
Do(“10”,”19”)
再如：
nums1 = “1”,nums2=”123”
Do(“1”,”9”)
Do(“10,”99”)
Do(“100,”123”)
注意：
l1等于l2时要分别处理。

核心代码

class Solution {
public:
int count(string num1, string num2, int min_sum, int max_sum) {
m_min_sum = min_sum;
m_max_sum = max_sum;
const int l1 = num1.length();
const int l2 = num2.length();
if (l1 == l2)
{
return DoSameLen(num1, num2).ToInt();
}
C1097Int biRet;
biRet += DoSameLen(num1, string(l1, ‘9’));
for (int i = l1 + 1; i < l2; i++)
{
biRet += DoSameLen(“1” + string(i - 1, ‘0’), string(i,‘9’));
}
biRet += DoSameLen(“1” + string(l2-1,‘0’), num2);
return biRet.ToInt();
}
C1097Int<> DoSameLen(string num1, string num2)
{
int n = num1.size();//只处理相等位数
int i = 0;
int sum = 0;
for (; (i < n) && (num1[i] == num2[i]); i++)
{
sum += num1[i] - ‘0’;
}
if (i >= n)
{
return ((sum >= m_min_sum)&&( sum <= m_max_sum)) ? 1 : 0;
}
//注[1]
vector<vector<C1097Int<>>> pre(3, vector<C1097Int<>>(m_max_sum+1));
Set(pre, 1, sum + num1[i]-‘0’, 1);
for (int j = num1[i] + 1; j < num2[i]; j++)
{
Set(pre, 0, sum +j - ‘0’, 1);
}
Set(pre, 2, sum + num2[i] - ‘0’, 1);
for (i++; i < n; i++)
{
vector<vector<C1097Int<>>> dp(3, vector<C1097Int<>>(m_max_sum + 1));
for (int preSum = 0; preSum <= m_max_sum; preSum++)
{
//处理下界
Set(dp, 1, preSum + num1[i] - ‘0’, pre[1][preSum]);
for (int j = num1[i] + 1; j <= ‘9’; j++)
{
Set(dp, 0, preSum + j - ‘0’, pre[1][preSum]);
}
//处理无边界
for (int j = ‘0’; j <= ‘9’; j++)
{
Set(dp, 0, preSum + j - ‘0’, pre[0][preSum]);
}
//处理上界
for (int j = ‘0’; j < num2[i]; j++)
{
Set(dp, 0, preSum + j - ‘0’, pre[2][preSum]);
}
Set(dp,2, preSum + num2[i] - ‘0’, pre[2][preSum]);
}
pre.swap(dp);
}
return Cal(pre);
}
void Set(vector<vector<C1097Int<>>>& dp, int status, int sum,C1097Int<> iAddNum)
{
if (sum > m_max_sum)
{
return;
}
dp[status][sum] += iAddNum;
}
C1097Int<> Cal(const vector<vector<C1097Int<>>>& pre)
{
C1097Int<> biRet;
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
for (int j = m_min_sum; j <= m_max_sum; j++)
{
biRet += pre[i][j];
}
}
return biRet;
}
int m_min_sum, m_max_sum;
};

测试代码

int main()
{
int res = 0;
res = Solution().count(“2”, “5”, 0, 100);
assert(res == 4);
res = Solution().count(“12”, “15”, 0, 100);
assert(res == 4);
res = Solution().count(“112”, “115”, 0, 100);
assert(res == 4);
res = Solution().count(“112”, “115”, 5, 100);
assert(res == 3);
res = Solution().count(“112”, “115”, 0, 6);
assert(res == 3);
res = Solution().count(“112”, “115”, 5, 6);
assert(res == 2);
res = Solution().count(“1”, “12”, 1, 8);
assert(res == 11);