高数笔记03：几何、物理应用

图源：文心一言

本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得，希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~🥝🥝

第1版：查资料、画导图~🧩🧩

参考资料：《高等数学基础篇》武忠祥

📇目录

🦮思维导图

🐳向量代数

🐋数量积【数字】

🐋向量积【向量】

🐋混合积【数字】

🐳空间解析几何

🐋平面空间与直线

🐋曲面与空间曲线

🐳积分学的几何应用

🐋单积分、二重积分

🐋三重积分

🐋曲线积分

🐋曲面积分

🐋多元积分应用

🐳场论初步

🔚结语

🦮思维导图

🌸思维导图为整理武老师基础教材所列内容，时间关系有些仓促，请多包涵~
🌸博文后面会以大纲的形式复述一遍，面向复习，不会写得很详细，且可能有误；较为重要的内容有从网络找相关配图并给出大佬博文链接~

🐳向量代数
- 🐋数量积【数字】
  - 几何表示： $a\cdot b=|a||b|cos\theta$
  - 代数表示： $a\cdot b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
  - 几何应用
    - 求夹角
    - 判定垂直
  图源：线性代数~数量积 - 知乎
- 🐋向量积【向量】
  - 几何表示
    - 模： $|a\times b|=|a||b|sin\theta$
    - 方向：右手法则
  - 代数表示：矩阵【首行基坐标，次行向量a的分量，尾行向量b的分量】
  图源：向量外积的坐标形式_向量外积的坐标表示-CSDN博客
  - 运算规律： $a\times b = -b\times a$ 【模不变，方向相反】
  - 几何应用
    - 求同时垂直于 a 和 b 的向量
    - 判定平行
    - 求以a和b为邻边的平行四边形的面积
  图源：向量的数量积与向量积 - 童趣PBL
- 🐋混合积【数字】
  - 几何表示： $(a bc)=(a\times b)\cdot c$
  - 代数表示：矩阵【首行向量a的分量，次行向量b的分量，尾行向量c的分量】
  图源：1272.　如何计算混合积?-高等数学-专业词典
  - 运算规律
    - 轮换对称性： $(abc)=(bca)=(cab)$
    - 交换变号： $(abc)=-(acb)$
    - 原理：矩阵交换1次行列变正负号
  - 几何应用
    - 求以a、b、c为邻边的平行六边体的面积
    - 求向量共面：(abc)=0【等式中任意两个向量平行，则3个向量必共面】
  图源：混合积的几何意义
🐳空间解析几何
- 🐋平面空间与直线
  - 概要
    - 平面方程
      一般式：
      $Ax+By+Cz+D=0$
      点法式：平面上1点(x0,y0,z0)和法线向量(A,B,C)表示直线
      $A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0$
      截距式：经过坐标轴的3个交点表示平面
      $x/a+y/b+z/c=1$
      
      图源：平面方程_百度百科 (baidu.com)
    - 直线方程
      一般式：2个平面的交线表示直线
      $\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right.$
      对称式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
      $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$
      参数式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
      $\left\{\begin{matrix} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt \\ z=z_0+pt \end{matrix}\right.$
      
      图源：不可不知的——直线的参数方程 (qq.com)
    - 点到平面的距离
      
      距离为M1M0在平面法向量的投影长度：
      
      代入点，M1与MO点乘为分子，M0满足平面方程化简，平面法向量的模为分母：
      
      图源：点到平面距离_百度百科 (baidu.com)
    - 点到直线的距离
      
      平行四边形满足等式：
      
      $S=|\vec{AB}\times\vec{S}|=d\cdot|\vec{S}|$
      
      代入方向向量S（l,m,n），B（x1,x2,x3）,A（x0,y0,z0），得
      
      $d=\frac{\vec{AB}\times\vec{S}}{|\vec{S}|}=\frac{(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times(l,m,n)}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$
  - 题型
    - 求法向量、切线向量，建立平面与直线的方程
    - 求点到直线的距离
- 🐋曲面与空间曲线
  - 概要
    - 曲面方程
      $F(x,y,z) = 0$
      $z=f(x,y)$
    - 空间曲线
      参数式【螺线】
      
      图源：确实没找到...
      
      一般式：2个曲面的交线表示空间曲线
      $\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$
    - 常见曲面
      - 旋转面：平面曲线绕平面直线旋转
      - 柱面：平行与定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹
        
        图源：抛物柱面函数 - 快懂百科
      - 二次曲面
        
        圆柱面
        
        圆锥面
        
        旋转抛物面
        
        椭球面
        
        图源：【高等数学】九种标准二次曲面 - 知乎 (zhihu.com)
      - 空间曲线投影
        
        投影柱面：曲线一般式联立消去z，得到的二元方程即为母线为z轴的投影柱面
        投影平面：在投影柱面方程的基础上，增加限制条件 z = 0，检查其它变量的取值范围，即为曲线在xoy面的投影
        
        图源：柱面坐标 - 搜狗百科 (sogou.com)
  - 题型
    - 曲面方程
      求柱面方程
      求旋转面方程
      求投影曲线方程
    - 解析几何
      曲面的切平面与法线，核心：求法向量
      曲线的切线与法平面，核心：求切向量

🐳积分学的几何应用
- 🐋单积分、二重积分
  - 概念
    - 平面图形的面积
      直角坐标
      $S=\int_{a}^{b}\mathrm{d}x\int_{f(x)}^{g(x)}\mathrm{d}y=\int_{a}^{b} f(x)-g(x) \mathrm{d}x$
      极坐标
      $S=\int_{\alpha}^{\beta}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{r(\theta)}r\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta) \mathrm{d}x$
    - 旋转体体积
      绕x轴旋转 $V_x=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = 底面积 $\pi f^2(x)$ x 高 $\mathrm{d}x$
      
      图源：单变量微积分-第十六讲-积分的应用（一） - 知乎
      
      绕y轴旋转 $V_y=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = 环状窄带周长 $2\pi x$ x 截面积 $f(x)\mathrm{d}x$
      
      图源：定积分的应用之柱壳法求旋转体体积_-CSDN博客
      
      绕直线旋转 $V=2\pi\int\int_{D_xy}r(x,y)\mathrm{d}\sigma$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = = 环状窄带周长 $2\pi r(x,y)$ x 截面积 $\mathrm{d}\sigma$ ， $r(x,y)$ 表示点到直线距离
      
      图源：高等数学解题常用公式笔记总结
    - 曲线弧长：同对弧长的线积分
    - 旋转体侧面积
      绕x轴旋转 $S=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}s$ ，其中面积微元 $\mathrm{d}S$ = 环状窄带周长 $2\pi \mathrm{d}s$ x 高度 $f(x)$ ， $ds=\sqrt{1+y'^2(x)}$
      
      图源：求曲线绕x轴旋转一周的旋转体的侧面积_360问答
  - 题型
    - 几何应用：
      定积分求面积
      绕轴旋转体积
    - 物理应用
      - 容积 = 底面积 x 高
        
        球1底面积 $\pi\times x^2$ ，高度微元 $\mathrm{d}y$
        球1体积微元 $\mathrm{d}v=\pi\times x^2\mathrm{d}y$ ，积分域-1到1/2
        球1体积 $V=\pi\int_{-1}^{1/2} x^2\mathrm{d}y$ ，代入圆的公式 $x^2+y^2=1$ ，得 $V=\pi\int_{-1}^{1/2} 1-y^2\mathrm{d}y$
        球2与球1体积相等，球1体积×2即为所求
      - 做功 = 力 x 距离
        
        球1受力微元 $\rho g\mathrm{d}v=\rho g(\pi\times x^2\mathrm{d}y)$ ，距离 $2-y$ ；
        球1做功微元 $\mathrm{d}w=\rho g\pi\times (1-y^2)\mathrm(2-y){d}y$ ；
        以上，球1区域做功 $W=\rho g\pi\int_{-1}^{1/2} (1-y^2)\mathrm(2-y)\mathrm{d}y$ ；
        同理，球2区域做功 $W=\rho g\pi\int_{1/2}^{2} (2y-y^2)\mathrm(2-y)\mathrm{d}y$ ；
      - 压强 = 压力 x 面积
        
        区域1压力： $\rho gH=\rho g(h+1-y)$ ，区域1面积 $2 \times \mathrm{d}y$ ；
        区域1压强微元： $\mathrm{d}p=\rho g(h+1-y)\times2\mathrm{d}y$ ；
        区域1压强： $P=2\rho g\int_{1}^{h+1} (h+1-y)\mathrm{d}y$ ；
        区域2压力： $\rho gH=\rho g(h+1-y)$ ，区域2面积 $2x\mathrm{d}y$ ；
        区域2压强微元： $\mathrm{d}p=\rho g(h+1-y)\times2\sqrt{y}\mathrm{d}y$ ；
        区域2压强： $P=2\rho g\int_{0}^{1} (h+1-y)\sqrt{y}\mathrm{d}y$ ；
- 🐋三重积分
  - 简述：区域点的函数值 x 体积微元，累加求和
  - 性质
    - 奇偶性、轮换对称性
    - 不等式性质
    - 积分中值定理
  - 计算
    - 先一后二
      计算
      作垂直于z轴的直线，穿过封闭底面z1(x,y)与顶面z2(x,y)，即z的积分上下限是x，y的函数
      先计算有关z的积分，再转化为求x，y的二重积分
      适合坐标
      印象中比较万能...
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\iint_{x^2+y^2\le 1/2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z\mathrm{d}z$
    - 先二后一
      计算
      作平行于z轴的截面，得到封闭曲线，即z的积分上下限是常数
      先计算有关x,y的二重积分，再转化为求z的单积分
      适合坐标
      被积函数： $f(x,y,z)=\phi(z)$ ，这一步可能需要借助奇偶性、对称性转换得到
      积分域： $D_z$ 面积较为规则，方便计算
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{1/\sqrt2}z\mathrm{d}z \iint_{x^2+y^2\le z^2} \mathrm{d}x\mathrm{d} y+\int_{1/\sqrt2}^{1}z\mathrm{d}z \iint_{x^2+y^2\le 1-z^2} \mathrm{d}x\mathrm{d} y$
    - 柱坐标
      与直角坐标的关系
      坐标
      $x=rcos\theta$
      $y = rsin\theta$
      $z=z$
      体积微元
      $dv = rdr d\phi dz$
      适合坐标
      被积函数： $f(x,y,z)=\phi(z)g(\sqrt{x^2+y^2})$
      积分域：柱面、锥面
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1/\sqrt2} \mathrm{d}r\int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} zr\mathrm{d} r$
    - 球坐标
      与直角坐标的关系
      坐标
      $x=rsin\phi cos\theta$
      $y = rsin\phi sin\theta$
      $z=rcos\phi$
      体积微元
      $dv = r^2sin\phi dr d\phi d\theta$
      适合坐标
      被积函数： $f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$
      积分域：球面、球壳、锥面
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/4} \mathrm{d}\phi\int_{0}^{1} r\cos\phi r^2\sin\phi\mathrm{d} r$
- 🐋曲线积分
  - 对弧长的线积分
    - 简述：函数值 x 弧长微元，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      体积微元
      参数方程： $ds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}$
      直角坐标： $ds=\sqrt{1+y'^2(x)}$
      极坐标： $ds=\sqrt{r^2+r'^2}$
      积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
      奇偶性【x轴、y轴】
      对称性【直线y=x】
    图源：【高等数学】定积分元素法及应用（待续） - 知乎
  - 对坐标的线积分
    - 简述：函数值 x 有向线段的投影，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      被积函数：代入直角坐标，或极坐标、参数方程
      积分域：从起点到终点【与方向有关，逆时针为正向】
      格林公式
      要求
      闭区域由分段光滑曲线围成
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：平面坐标的线积分转化为二重积分
      
      图源：格林公式 - 搜狗百科
      
      斯托克斯公式
      要求
      闭区域由空间分段光滑曲线围成，方向符合右手法则
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：空间坐标的线积分转化为二重积分
      
      图源：斯托克斯公式的意义? - 知乎
      
      图源：怎么记住斯托克斯公式（Stokes' theorem）？ - 知乎
    - 方法选择
      曲线L是否封闭？
      是：格林【平面】/ 斯托克斯【空间】
      否：是否与路径无关？
      是
      改换路径【一般选择平行坐标轴】
      寻找原函数【偏积分、凑微分】
      否
      直接法【注意方向】
      补线使用公式
  - 两类线积分的关系
    - 对弧长的线积分 x 曲线在切线方向的余弦 = 对坐标的线积分
    图源：多元微积分—— 知乎
- 🐋曲面积分
  - 对面积的面积分
    - 简述：函数值 x 面积微元，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      体积微元： $ds=\sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2}$
      积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
      奇偶性【x轴、y轴】
      轮换对称性
  - 对坐标的面积分
    - 简述：函数值 x 有向投影域面积，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      被积函数：代入直角坐标 $y=f(x)$ ，或极坐标、参数方程
      积分域：从起点到终点【与方向有关，上、前、右侧为正向】
      高斯公式
      要求
      闭区域由分段光滑曲线围成
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：空间坐标的面积分转化为三重积分
      
      图源：高斯公式 - Bing
    - 方法选择
      曲面是否封闭且不存在奇点？
      是：高斯公式
      否
      直接法【注意方向】
      补面【不封闭】或作辅助面【存在奇点】使用公式
  - 两类面积分的关系
    - 对面积的面积分 x 曲面在切线方向的余弦 = 对坐标的面积分
- 🐋多元积分应用
  - 概要
    - 平板面【二重积分】
      面积
      被积函数：1
      质量
      被积函数： $\rho(x,y)$
      质心
      被积函数： $\frac{x\rho(x,y)}{\rho(x,y)}$
      转动惯量
      被积函数： $y^2\rho(x,y)$ 【对y轴】
    - 推广
      空间体【三重积分】
      曲线【一型线积分】
      曲面【一型面积分】
    - 变力做功【二型线积分】
    - 通量【二型面积分】
  - 题型
    - 形心
    - 质心
    - 变力做功