【转载+修改】pytorch中backward求梯度方法的具体解析

原则上，pytorch不支持张量对张量的求导，它只支持标量对张量的求导
我们先看标量对张量求导的情况

import torch
x=torch.ones(2,2,requires_grad=True)
print(x)
print(x.grad_fn)

输出，由于x是被直接创建的，也就是说它是一个叶子节点，所以它的grad_fn属性的值为None
tensor([[1., 1.], [1., 1.]], requires_grad=True) None
接下来对叶子节点x进行第一步操作，y=x+2

y=x+2
print(y)
print(y.grad_fn)

输出：这里可以看到y的grad_fn属性变成了AddBackward，所以grad_fn属性记录的是该张量的上一步操作。
tensor([[3., 3.], [3., 3.]], grad_fn=) <AddBackward0 object at 0x00000206A7EE2108>
然后进行操作z=y * y * 3，再对z求平均值

z=y*y*3 
out=z.mean()
print(z,out)

输出结果：
tensor([[27., 27.], [27., 27.]], grad_fn=) tensor(27., grad_fn=)
此时我们利用backward()函数来求x的梯度，由于out是求平均值得到的一个标量，所以我们可以不用向backward函数传递一个张量，而是直接计算。

out.backward()
print(x.grad)

输出：tensor([[4.5000, 4.5000], [4.5000, 4.5000]])

我们来手动计算，看得到的结果是否与backword函数得到的结果一致
在这里插入图片描述
显然，结果是一致的。

再来看张量对张量求导的情况
前面已经强调过，pytorch不允许张量对张量求导，所以在使用张量对张量求导的时候，必须要传入一个与被求导张量同形的张量，然后pytorch根据传入的张量与被求导张量作加权求和将其转化为标量，这里比较晦涩难懂，没关系，接下来我们用例子来解释
首先创建一个叶子节点x

x=torch.tensor([[1.0,2.0],[3.0,4.0]],requires_grad=True)
print(x)

tensor([[1., 2.], [3., 4.]], requires_grad=True)
接下来计算y=3*x

y=3*x
print(y)

tensor([[ 3., 6.], [ 9., 12.]], grad_fn=)
接下来我们直接用y求导y.backward()
毫无意外，直接报错，这就印证了前面说过的pytorch不支持张量对张量直接求导

RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs

于是我们构建一个与y同形的张量z，（一般是传入一个单位张量，可以参考y.backward(torch.ones_like(y))，这样计算得到的参数梯度没有张量z的影响）把z作为y.backward()的参数求y对x的导。

z=torch.tensor([[1.0,0.1],[0.01,0.001]],dtype=torch.float)
y.backward(z)
print(x.grad)

输出结果：tensor([[3.0000, 0.3000], [0.0300, 0.0030]])(张量的梯度是一个与原张量同形的张量)
事实上，到这里我们仍一头雾水，不知道这个结果是如何得出的，下面给出他的通用计算公式（需要注意的是，该公式只是用来方便计算的，属于计算技巧）
在这里插入图片描述
至于y对x的导数，如果有多层复合函数，利用链式法则计算即可。上面的例子比较简单，y对x求导的结果是3，再乘以张量z，很容验证得到同样的结果。
接下来我们推导上述计算公式，上文已经提到，对于表达式y.backward(z) （y、z为同形张量）的计算过程，实际上将y与z加权求和得到标量m，然后用m对x求导得到结果，也就是说实际上有这样一步计算m=torch.sum(y*z)
我们可以来验证这一步计算的正确性