一、向量的基础知识

两个独立的数字 $v_1$ 和 $v_2$，将它们配对可以产生一个二维向量 $\mathbf{v}$：$$\text{列向量}\mathbf{v}\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]\begin{array}{c}{v}_1=\mathbf{v}的第一个分量\\ v_2=\mathbf{v}的第二个分量\end{array}$$这里将 $\mathbf{v}$ 写成一列（column），而不是一行（row），单一的字母 $\mathbf{v}$（粗斜体字）表示这一对数字 $v_1$ 与 $v_2$（浅色斜体字）。
向量的一个基础运算是向量的加法，即将两个向量的每个分量分别相加：$$\text{向量加法}\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]与\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]相加得到\mathbf{v}+\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}{v}_1+w_1\\ v_2+w_2\end{array}\right]$$减法同理，$\mathbf{v}-\mathbf{w}$ 的分量是 $v_1-w_1$ 与 $v_2-w_2$。
向量的另一个基础运算是数乘（scalar multiplication），一个向量可以和任意数 $c$ 相乘，就是用 $c$ 去乘这个向量的每个分量：$$\text{数乘}2\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2v_1\\ 2v_2\end{array}\right]=\mathbf{v}+\mathbf{v}，-\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}-v_1\\ -v_2\end{array}\right]$$$c\mathbf{v}$ 的分量是 $c{v}_1$ 与 $c{v}_2$，数字 $c$ 称为 “数量”（或纯量 scalar）。
需要注意的是：$-\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{v}$ 的和（sum）是零向量，以粗体 $0$ 表示，与一般的数字 $0$ 不同，向量 $0$ 的分量是 $0$ 与 $0$。
线性代数就是建立在 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 与 $c\mathbf{v}$ 与 $d\mathbf{w}$ 的运算 —— 向量的加法与数乘。

二、线性组合

将向量的加法与数乘相结合可以产生 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 的 “线性组合”。用 $c$ 乘 $\mathbf{v}$ 与 $d$ 乘 $\mathbf{w}$，然后相加得到 $c\mathbf{v}+d\mathbf{w}$。$$c\mathbf{v}与d\mathbf{w}的和是线性组合c\mathbf{v}+d\mathbf{w}$$四种特殊的线性组合：和、差、零、数乘 $c\mathbf{v}$：
$$1\mathbf{v}+1\mathbf{w}=向量的和，如图1.1a$$$$1\mathbf{v}-1\mathbf{w}=向量的差，如图1.1b$$$$0\mathbf{v}+0\mathbf{w}=\text{零向量}$$$$c\mathbf{v}+0\mathbf{w}=沿着\mathbf{v}方向的向量c\mathbf{v}$$零向量永远是可能的组合（只要系数都为零），向量的 “空间” 都包含零向量。从大局上看，线性代数的工作就是取得 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 所有的线性组合。
对于代数来说，我们只需要向量的分量（如 $4$ 和 $2$）。向量也可以画在图形上，向量 $\mathbf{v}$ 由箭头表示，箭头向右横跨 $v_1=4$ 个单位，再往上走 $v_2=2$ 个单位，终点的坐标等于 $(4,2)$。这个点就是向量的另外一种表示法。向量 $\mathbf{v}$ 可以用三种方式来描述：$$向量\mathbf{v}的表示法两个数字由(0,0)出发的箭头平面上的点$$我们用数字做加法，用箭头可视化 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$：

先沿着 $\mathbf{v}$ 再沿着 $\mathbf{w}$ 前进，或者沿着 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 走对角线；也可以先沿着 $\mathbf{w}$ 再沿着 $\mathbf{v}$。换言之，$\mathbf{w}+\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 的答案相同。沿着平行四边形（本例是矩形）存在不同的前进方向。

三、三维向量

有两个分量的向量对应到 $xy$ 平面上的一个点，$\mathbf{v}$ 的分量就是点的坐标：$x=v_1$，$y=v_2$。向量从 $(0,0)$ 出发，箭头在 $(v_1，v_2)$ 结束。
如果向量有三个分量，那么就对应三维的 $xyz$ 空间中的一点。下面的列向量就有三个分量：$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]，\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right]，\mathbf{v}+\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ 3\end{array}\right]$$向量 $\mathbf{v}$ 对应到三维空间的一个箭头，通常由原点出发，原点即 $xyz$ 轴的交点，其坐标为 $(0,0,0)$，箭头的终点坐标是 $v_1$，$v_2$，$v_3$。三维向量同样有三种表示方式：列向量，原点出发的箭头与箭头的终点（空间中一点）。
注意，平面向量 $(x,y)$ 与三维空间的 $(x,y,0)$ 是不同的。

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]也可以写成\mathbf{v}=(1,1,-1)$$写成行形式（在括号中）是为了节省空间，但是 $\mathbf{v}=(1,1,-1)$ 不是行向量！它仍是列向量，与行向量 $[11-1]$ 是不同的，尽管它们都具有三个分量。这里 $1\times 3$ 的行向量是 $3\times 1$ 的列向量 $\mathbf{v}$ 的 “转置”（transpose）。
三维空间中，$\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 仍然是每次计算一个分量，向量的和的分量是 $v_1+w_1$，$v_2+w_2$ 和 $v_3+w_3$，同理可以推出 $4$ 维直至 $n$ 维空间中向量的加法。当 $\mathbf{w}$ 从 $\mathbf{v}$ 的终点出发，则第三边为 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$，平行四边形的另一个环绕方向是 $\mathbf{w}+\mathbf{v}$。这四个边是在同一平面的，向量的和 $\mathbf{v}+\mathbf{w}-\mathbf{v}-\mathbf{w}$ 走完一圈产生零向量。
三维空间三个向量的线性组合，$\mathbf{u}+4\mathbf{v}-2\mathbf{w}$：分别用 $1$，$4$，$-2$ 乘三个向量再相加的线性组合$$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right]+4\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 9\end{array}\right]$$

四、重要问题

一个向量 $\mathbf{u}$，唯一的线性组合是 $c\mathbf{u}$。对于两个向量，线性组合是 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}$。对于三个向量，线性组合是 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}+e\mathbf{w}$。对于每个 $c$、$d$、$e$，假设 $\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$，$\mathbf{w}$ 是三维空间中的向量：
（1）所有 $c\mathbf{u}$ 的组合，图形是什么？
（2）所有 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}$ 的组合，图形是什么？
（3）所有 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}+e\mathbf{w}$ 的组合，图形是什么？
上述的答案都与 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$、$\mathbf{w}$ 有关，若它们均为零向量，所有的线性组合都是零。如果它们都是典型的非零向量（随机选定分量，即它们两两不平行，三个向量不共面）：
（1）所有 $c\mathbf{u}$ 的组合形成一条过原点（0,0,0）的直线。
（2）所有的 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}$ 的组合形成一个 过（0,0,0）的平面。
（3）所有的 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}+e\mathbf{w}$ 的组合形成三维空间。
因为当 $c$ 为 $0$ 时，零向量 $(0,0,0)$ 会在直线上；当 $c$ 与 $d$ 都为 $0$ 时，零向量会在平面上。向量 $c\mathbf{u}$ 形成的直线是无限长（正向与反向）的，三维空间中两个向量的组合，全部 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}$ 会形成三维空间内一个平面，且过原点；一条直线上的所有 $c\mathbf{u}$ 加上另一条直线上的所有 $d\mathbf{v}$ 就会形成 Figure1.3 所示的平面。

当引入第三个向量 $\mathbf{w}$ 时，所有的 $e\mathbf{w}$ 会得到第三条直线。假设第三条直线不在 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 形成的平面上，则 $e\mathbf{w}$ 与 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}$ 的组合可以形成整个三维空间。
典型情况下，我们会得到线、面、然后空间，但是还会有其它可能的情况。若 $\mathbf{w}$ 正好等于 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}$ 时，即第三个向量 $\mathbf{w}$ 在前两个向量所形成的平面上，那么 $\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$，$\mathbf{w}$ 的组合仍然会在 $\mathbf{uv}$ 平面内，也就不能得到整个三维空间。

五、主要内容总结

（1）二维空间的向量 $\mathbf{v}$ 由两个分量 $v_1$ 和 $v_2$。
（2）$\mathbf{v}+\mathbf{w}=(v_1+w_1,v_2+w_2)$，$c\mathbf{v}=(c{v}_1,c{v}_2)$，每次计算一个分量。
（3）三个向量 $\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$，$\mathbf{w}$ 的线性组合是 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}+e\mathbf{w}$。
（4）选取所有的 $\mathbf{u}$ 或 $\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$ 或 $\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$，$\mathbf{w}$ 的线性组合，在三维空间中，典型情况下，会形成一条直线或一个平面或整个空间 ${\text{R}}^3$。

六、例题

【例1】$\mathbf{v}=(1,1,0)$ 和 $\mathbf{w}=(0,1,1)$ 的线性组合会形成 ${\text{R}}^3$ 中的一个平面，描述这个平面，并找到一个不是 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 线性组合的向量，即不在该平面上的向量。
解： $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 所形成的平面包含所有的组合 $c\mathbf{v}+d\mathbf{w}$，该平面上的向量允许任意和 $c$ 和 $d$。$$线性组合c\mathbf{v}+d\mathbf{w}=c\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ c+d\\ d\end{array}\right]形成一个平面$$可以发现其第二分量 $c+d$ 为第一分量与第三分量之和。$(1,2,3)$ 即不在这个平面上，这是因为 $2\ne 1+3$。

【例2】$\mathbf{v}=(1,0)$ 与 $\mathbf{w}=(0,1)$，描述所有的 $c\mathbf{v}$ 点。
（1）当 $c$ 为任意整数时；
（2）当 $c$ 非负数时，$c\ge 0$。
再将（1）（2）得到的 $c\mathbf{v}$ 加上所有的 $d\mathbf{w}$，描述所有的 $c\mathbf{v}+d\mathbf{w}$。
解：（1）当 $c$ 为任意整数时，向量 $c\mathbf{v}=(c,0)$ 是沿着 $x$ 轴（$\mathbf{v}$ 的方向）的等距点，包含 $(-2,0)$，$(-1,0)$，$(0,0)$，$(1,0)$，$(2,0)$。
（2）当 $c\ge 0$ 时，向量 $c\mathbf{v}$ 形成一条半线，即 $x$ 正半轴。这条线从 $(0,0)$ 开始，此时 $c=0$。包含点 $(100,0)$ 与 $(\pi ,0)$，但不包含 $(-100,0)$。
（1’）加上所有的向量 $d\mathbf{w}=(0,d)$，会在这些等距点 $c\mathbf{v}$ 上放置一条垂直（vertical）线，将会得到无数条（全部整数 $c$，任意的 $d$）平行线。
（2’）加上所有的向量 $d\mathbf{w}=(0,d)$，会在半线上的每一个 $c\mathbf{v}$ 上放置一条垂直线，将会得到一个半平面，$xy$ 平面的右半部分包括任意的 $x\ge 0$ 和任意的 $y$。

【例3】求出 $c$ 和 $d$ 的两个方程，使得线性组合 $c\mathbf{v}+d\mathbf{w}=\mathbf{b}$：$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]，\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]，\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$
解： 在应用数学中，很多问题都有两个部分：

1. 建模（modeling）部分：利用一些方程式来表述问题。
2. 计算（computational）部分：利用快速且正确的算法求解方程组。

这里仅讨论第一部分，使用方程组表示。这里可以使用一个线性代数的基础模型：$$求n个数值c_1,\cdots ,c_n，使得c_1\mathbf{v}+\cdots c_n{\mathbf{v}}_n=\mathbf{b}$$当 $n=2$ 时即为此例题的模型。$$向量方程式c\mathbf{v}+d\mathbf{w}c\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$可以得到两个一般方程式：$$\{\begin{array}{c}2c-d=1\\ -c+2d=1\end{array}$$每个方程式产生一条直线，两条直线相交可以解得 $c=2/3$，$d=1/3$。