PCA和SVD数据降维

PCA（Principal Component Analysis）是一种常见的数据分析方式，常用于高维数据的降维，可用于提取数据的主要特征分量。

最大可分性

基向量乘原始矩阵会将矩阵映射到这个基向量空间中，如果基的数量少于向量本身的维数，则可以达到降维的效果。

如何选取基？

希望投影后的投影值尽可能分散，因为如果重叠就会有样本消失。当然这个也可以从熵的角度进行理解，熵越大所含信息越多。

数据的分散程度可以用方差来表示，所以需要将方差最大化

一维是方差，而对于高维数据，我们用协方差进行约束，协方差可以表示两个变量的相关性。为了让两个变量尽可能表示更多的原始信息，我们希望它们之间不存在线性相关性。

协方差公式： $Cov(a,b)=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m}(a_{i}-\mu _{a})(b_{i}-\mu _{b})))$

为了方便处理，我们将每个变量的均值都化为 0

$Cov(a,b)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_{i}b_{i}$

当样本数较大时，不必在意其是 m 还是 m-1，为了方便计算，我们分母取 m。

当协方差为0时，表示两个变量线性不相关，为了让协方差为0，我们选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上进行选择，因此最终选择的两个方向一定是正交的。

至此，我们得到了降维问题的优化目标：将一组 N 维向量降为 K 维，其目标是选择 K 个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各变量两两间协方差为 0，而变量方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的 K 个方差）

$\frac{1}{m}XX^{T}=\begin{pmatrix} \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_{i}^{2} &\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_{i}b_{i} \\ \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_{i}b_{i} & \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}b_{i}^{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} Cov(a,a) & Cov(a,b)\\ Cov(b,a) & Cov(b,b) \end{pmatrix}$

根据我们的优化条件，我们需要将除对角线外的其它元素化为 0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列（变量方差尽可能大）

设原始数据矩阵 X 对应的协方差矩阵为 C，而 P 是一组基按行组成的矩阵，设 Y=PX，则 Y 为 X 对 P 做基变换后的数据。设 Y 的协方差矩阵为 D，我们推导一下 D 与 C 的关系：

$D=\frac{1}{m}YY^{T}=\frac{1}{m}(PX)(PX)^{T}=\frac{1}{m}PXX^{T}P^{T}=P(\frac{1}{m}XX^{T})P^{T}=PCP^{T}$

所以P为所要求的基矩阵

求解步骤

总结一下 PCA 的算法步骤：

设有 m 条 n 维数据。

将原始数据按列组成 n 行 m 列矩阵 X；
将 X 的每一行进行零均值化，即减去这一行的均值；
求出协方差矩阵 $C=\frac{1}{m}XX^{T}$ ；
求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量；
将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前 k 行组成矩阵 P；
Y=PX即为降维到 k 维后的数据

PCA与SVD本质一样

SVD：

SVD的基矩阵是 $A^{T}A$ 和 $AA^{T}$ 的特征值分解的特征向量按列组成的正交矩阵左奇异矩阵V，右奇异矩阵U，PCA只与SVD的右奇异向量的压缩效果相同

为什么分左奇异右奇异矩阵？

因为SVD所求的矩阵不是方阵，协方差矩阵不一样

当矩阵为方阵是SVD等价于PCA

当 $A=\frac{X^{T}}{\sqrt{m}}$ ，则 $A^{T}A=(\frac{X^{T}}{\sqrt{m}})^{T}\frac{X^{T}}{\sqrt{m}}=\frac{1}{m}XX^{T}$

SVD与PCA等价，所以PCA问题可以转化为SVD问题求解，那转化为SVD问题有什么好处？

有三点：

一般 X 的维度很高， $A^{T}A$ 的计算量很大
方阵的特征值分解计算效率不高
SVD除了特征值分解这种求解方式外，还有更高效且更准确的迭代求解法，避免了 $A^{T}A$ 的计算

其实，PCA只与SVD的右奇异向量的压缩效果相同。

如果取V的前 k 行作为变换矩阵 $P_{k\times n}$ ，则 $Y_{k\times m}=P_{k\times n}X_{n\times m}$ ，起到压缩行即降维的效果
如果取 U的前 k行作为变换矩阵 $P_{d\times m}$ ，则 $Y_{n\times d}=X_{n\times m}P_{m\times d}$ ，起到压缩列即去除冗余样本的效果。

from __future__ import print_function
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
print(__doc__)def loadDataSet(fileName,delim='\t'):fr=open(fileName)stringArr=[line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]datArr=[map(float,line) for line in stringArr]return mat(datArr)def pca(dataMat,topNfeat=9999999):"""pcaArgs:dataMat   原数据集矩阵topNfeat  应用的N个特征Returns:lowDDataMat  降维后数据集reconMat     新的数据集空间"""# 计算每一列的均值meanVals=mean(dataMat,axis=0)# print 'meanVals', meanVals# 每个向量同时都减去 均值meanRemoved=dataMat-meanVals# print 'meanRemoved=', meanRemoved# cov协方差=[(x1-x均值)*(y1-y均值)+(x2-x均值)*(y2-y均值)+...+(xn-x均值)*(yn-y均值)+]/(n-1)'''方差: （一维）度量两个随机变量关系的统计量协方差:  （二维）度量各个维度偏离其均值的程度协方差矩阵: （多维）度量各个维度偏离其均值的程度当 cov(X, Y)>0时，表明X与Y正相关；(X越大，Y也越大；X越小Y，也越小。这种情况，我们称为“正相关”。)当 cov(X, Y)<0时，表明X与Y负相关；当 cov(X, Y)=0时，表明X与Y不相关。'''covMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)# eigVals为特征值， eigVects为特征向量eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(covMat))# print 'eigVals=', eigVals# print 'eigVects=', eigVects# 对特征值，进行从小到大的排序，返回从小到大的index序号# 特征值的逆序就可以得到topNfeat个最大的特征向量'''>>> x = np.array([3, 1, 2])>>> np.argsort(x)array([1, 2, 0])  # index,1 = 1; index,2 = 2; index,0 = 3>>> y = np.argsort(x)>>> y[::-1]array([0, 2, 1])>>> y[:-3:-1]array([0, 2])  # 取出 -1, -2>>> y[:-6:-1]array([0, 2, 1])'''eigValInd=argsort(eigVals)# print 'eigValInd1=', eigValInd# -1表示倒序，返回topN的特征值[-1 到 -(topNfeat+1) 但是不包括-(topNfeat+1)本身的倒叙]eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]# print 'eigValInd2=', eigValInd# 重组 eigVects 最大到最小redEigVects=eigVects[:,eigValInd]# print 'redEigVects=', redEigVects.T# 将数据转换到新空间# print "---", shape(meanRemoved), shape(redEigVects)lowDDataMat=meanRemoved*redEigVectsreconMat=(lowDDataMat*redEigVects.T)+meanVals# print 'lowDDataMat=', lowDDataMat# print 'reconMat=', reconMatreturn lowDDataMat,reconMatdef replaceNanWithMean():datMat=loadDataSet('data/13.PCA/secom.data', ' ')numFeat=shape(datMat)[1]for i in range(numFeat):# 对value不为NaN的求均值# .A 返回矩阵基于的数组meanVal=mean(datMat[nonzero(~isnan(datMat[:,i].A))[0],i])# 将value为NaN的值赋值为均值datMat[nonzero(isnan(datMat[:,i].A))[0],i]=meanValreturn datMatdef show_picture(dataMat,reconMat):fig=plt.figure()ax=fig.add_subplot(111)ax.scatter(dataMat[:,0].flatten().A[0],dataMat[:,1].flatten().A[0],marker='^',s=90,c='green')ax.scatter(reconMat[:, 0].flatten().A[0], reconMat[:, 1].flatten().A[0], marker='v', s=50, c='red')plt.show()def analyse_data(dataMat):meanVals=mean(dataMat,axis=0)meanRemoved=dataMat-meanValscovMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)eigvals,eigVects=linalg.eig(mat(covMat))eigValInd=argsort(eigvals)topNfeat=20eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]cov_all_score=float(sum(eigvals))sum_cov_score=0for i in range(0,len(eigValInd)):line_cov_score=float(eigvals[eigValInd[i]])sum_cov_score+=line_cov_score'''我们发现其中有超过20%的特征值都是0。这就意味着这些特征都是其他特征的副本，也就是说，它们可以通过其他特征来表示，而本身并没有提供额外的信息。最前面15个值的数量级大于10^5，实际上那以后的值都变得非常小。这就相当于告诉我们只有部分重要特征，重要特征的数目也很快就会下降。最后，我们可能会注意到有一些小的负值，他们主要源自数值误差应该四舍五入成0.'''print('主成分: %s, 方差占比: %s%%, 累积方差占比: %s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(line_cov_score/cov_all_score*100, '4.2f'), format(sum_cov_score/cov_all_score*100, '4.1f')))

import numpy as np
x=np.array([3,1,2])
print(np.argsort(x))
y = np.argsort(x)
print(y)
print(y[::-1])
print(y[1:3:1])

# 加载数据，并转化数据类型为float
dataMat=loadDataSet('data/13.PCA/testSet.txt')
# 只需要1个特征向量
lowDmat,reconMat=pca(dataMat,1)
# 只需要2个特征向量，和原始数据一致，没任何变化
lowDmat,reconMat=pca(dataMat,2)
print(shape(lowDmat))
show_picture(dataMat,reconMat)
show_picture(dataMat,lowDmat)
show_picture(reconMat,lowDmat)

# 利用PCA对半导体制造数据降维
dataMat = replaceNanWithMean()
print(shape(dataMat))
# 分析数据
analyse_data(dataMat)
lowDmat, reconMat = pca(dataMat, 20)
print (shape(lowDmat))
show_picture(dataMat,reconMat)
show_picture(dataMat,lowDmat)
show_picture(reconMat,lowDmat)

SVD：

应用场景：

1.信息检索-隐性语义检索（Latent Semantic Indexing, LSI）或隐形语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）

2.推荐系统

利用 SVD 从数据中构建一个主题空间。
再在该空间下计算其相似度。(从高维-低维空间的转化，在低维空间来计算相似度，SVD 提升了推荐系统的效率。

3.图像压缩

将图像矩阵进行奇异值分解，然后存储

例如: 32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

推荐系统：

基于物品的相似度和基于用户的相似度: 物品比较少则选择物品相似度，用户比较少则选择用户相似度。

基于物品的相似度: 计算物品之间的距离。【耗时会随物品数量的增加而增加】
由于物品A和物品C 相似度(相关度)很高，所以给买A的人推荐C。

基于用户的相似度: 计算用户之间的距离。【耗时会随用户数量的增加而增加】
由于用户A和用户C 相似度(相关度)很高，所以A和C是兴趣相投的人，对于C买的物品就会推荐给A。

相似度计算：

inA, inB 对应的是列向量

欧氏距离: 指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。二维或三维中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。
- 相似度= 1/(1+欧式距离)
- 相似度= 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))
- 物品对越相似，它们的相似度值就越大。
皮尔逊相关系数: 度量的是两个向量之间的相似度。
- 相似度= 0.5 + 0.5*corrcoef() 【皮尔逊相关系数的取值范围从 -1 到 +1，通过函数0.5 + 0.5*corrcoef()这个函数计算，把值归一化到0到1之间】
- 相似度= 0.5 + 0.5 * corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1]
- 相对欧氏距离的优势: 它对用户评级的量级并不敏感。
余弦相似度: 计算的是两个向量夹角的余弦值。
- 余弦值 = (A·B)/(||A||·||B||) 【余弦值的取值范围也在-1到+1之间】
- 相似度= 0.5 + 0.5*余弦值
- 相似度= 0.5 + 0.5*( float(inA.T*inB) / la.norm(inA)*la.norm(inB))
- 如果夹角为90度，则相似度为0；如果两个向量的方向相同，则相似度为1.0。

推荐系统的原理

推荐系统的工作过程: 给定一个用户，系统会为此用户返回N个最好的推荐菜。
实现流程大致如下:
1. 寻找用户没有评级的菜肴，即在用户-物品矩阵中的0值。
2. 在用户没有评级的所有物品中，对每个物品预计一个可能的评级分数。这就是说: 我们认为用户可能会对物品的打分（这就是相似度计算的初衷）。
3. 对这些物品的评分从高到低进行排序，返回前N个物品。

#SVD
from __future__ import print_function
from numpy import linalg as la
from numpy import *def loadExData3():# 利用SVD提高推荐效果，菜肴矩阵return[[2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0],[3, 3, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 2, 0, 0],[5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],[4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],[0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],[0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4, 5, 0],[1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 4, 5, 0]]def loadExData2():# 书上代码给的示例矩阵return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],[0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],[3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],[5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],[4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],[0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],[0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]
def loadExData():"""# 推荐引擎示例矩阵return[[4, 4, 0, 2, 2],[4, 0, 0, 3, 3],[4, 0, 0, 1, 1],[1, 1, 1, 2, 0],[2, 2, 2, 0, 0],[1, 1, 1, 0, 0],[5, 5, 5, 0, 0]]"""# # 原矩阵# return[[1, 1, 1, 0, 0],#        [2, 2, 2, 0, 0],#        [1, 1, 1, 0, 0],#        [5, 5, 5, 0, 0],#        [1, 1, 0, 2, 2],#        [0, 0, 0, 3, 3],#        [0, 0, 0, 1, 1]]# 原矩阵return[[0, -1.6, 0.6],[0, 1.2, 0.8],[0, 0, 0],[0, 0, 0]]# 相似度计算，假定inA和inB 都是列向量
# 基于欧氏距离
def ecludSim(inA,inB):return 1.0/(1.0+la.norm(inA-inB))# pearsSim()函数会检查是否存在3个或更多的点。
# corrcoef直接计算皮尔逊相关系数，范围[-1, 1]，归一化后[0, 1]
def pearsSim(inA,inB):# 如果不存在，该函数返回1.0，此时两个向量完全相关。if len(inA)<3:return 1.0return 0.5+0.5*corrcoef(inA,inB,rowvar=0)[0][1]# 计算余弦相似度，如果夹角为90度，相似度为0；如果两个向量的方向相同，相似度为1.0
def cosSim(inA,inB):num=float(inA.T*inB)denom=la.norm(inA)*la.norm(inB)return 0.5+0.5*(num/denom)# 基于物品相似度的推荐引擎
def standEst(dataMat,user,simMeas,item):"""standEst(计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分)Args:dataMat         训练数据集user            用户编号simMeas         相似度计算方法item            未评分的物品编号Returns:ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）"""# 得到数据集中的物品数目n=shape(dataMat)[1]# 初始化两个评分值simTotal=0.0ratSimTotal=0.0# 遍历行中的每个物品（对用户评过分的物品进行遍历，并将它与其他物品进行比较）for j in range(n):userRating=dataMat[user,j]# 如果某个物品的评分值为0，则跳过这个物品if userRating==0:continue# 寻找两个用户都评级的物品# 变量 overLap 给出的是两个物品当中已经被评分的那个元素的索引ID# logical_and 计算x1和x2元素的真值。overLap=nonzero(logical_and(dataMat[:,item].A>0,dataMat[:,j].A>0))[0]# 如果相似度为0，则两着没有任何重合元素，终止本次循环if len(overLap)==0:similarity=0# 如果存在重合的物品，则基于这些重合物重新计算相似度。else:similarity=simMeas(dataMat[overLap,item],dataMat[overLap,j])# print 'the %d and %d similarity is : %f'(iten,j,similarity)# 相似度会不断累加，每次计算时还考虑相似度和当前用户评分的乘积# similarity  用户相似度，   userRating 用户评分simTotal+=similarityratSimTotal+=similarity*userRatingif simTotal==0:return 0# 通过除以所有的评分总和，对上述相似度评分的乘积进行归一化，使得最后评分在0~5之间，这些评分用来对预测值进行排序else:return ratSimTotal/simTotal# 基于SVD的评分估计
# 在recommend() 中，这个函数用于替换对standEst()的调用，该函数对给定用户给定物品构建了一个评分估计值
def svdEst(dataMat,user,simMeas,item):"""svdEst( )Args:dataMat         训练数据集user            用户编号simMeas         相似度计算方法item            未评分的物品编号Returns:ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）"""# 物品数目n=shape(dataMat)[1]# 对数据集进行SVD分解simTotal=0.0ratSimTotal=0.0# 奇异值分解# 在SVD分解之后，我们只利用包含了90%能量值的奇异值，这些奇异值会以NumPy数组的形式得以保存U,Sigma,VT=la.svd(dataMat)# # 分析 Sigma 的长度取值# analyse_data(Sigma, 20)# 如果要进行矩阵运算，就必须要用这些奇异值构建出一个对角矩阵Sig4=mat(eye(4)*Sigma[:4])# 利用U矩阵将物品转换到低维空间中，构建转换后的物品(物品+4个主要的特征)xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.IxformedItems1 =   U[:, :4].T *dataMatprint('dataMat', shape(dataMat))print('U[:, :4]', shape(U[:, :4]))print('Sig4.I', shape(Sig4.I))print('VT[:4, :]', (VT[:4, :]))print('xformedItems', (xformedItems))print('xformedItems1', (xformedItems1))# 对于给定的用户，for循环在用户对应行的元素上进行遍历# 这和standEst()函数中的for循环的目的一样，只不过这里的相似度计算时在低维空间下进行的。for j in range(n):userRating = dataMat[user, j]if userRating == 0 or j == item:continue# 相似度的计算方法也会作为一个参数传递给该函数similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)# for 循环中加入了一条print语句，以便了解相似度计算的进展情况。如果觉得累赘，可以去掉print('the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity))# 对相似度不断累加求和simTotal += similarity# 对相似度及对应评分值的乘积求和ratSimTotal += similarity * userRatingif simTotal == 0:return 0else:# 计算估计评分return ratSimTotal/simTotal# recommend()函数，就是推荐引擎，它默认调用standEst()函数，产生了最高的N个推荐结果。
# 如果不指定N的大小，则默认值为3。该函数另外的参数还包括相似度计算方法和估计方法
def recommend(dataMat,user,N=3,simMeas=cosSim,estMethod=standEst):"""svdEst( )Args:dataMat         训练数据集user            用户编号simMeas         相似度计算方法estMethod       使用的推荐算法Returns:返回最终 N 个推荐结果"""# 寻找未评级的物品# 对给定的用户建立一个未评分的物品列表unratedItems=nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1]# 如果不存在未评分物品，那么就退出函数if len(unratedItems)==0:return 'you rated everything'# 物品的编号和评分值itemScores=[]# 在未评分物品上进行循环for item in unratedItems:# 获取 item 该物品的评分estimatedScore=estMethod(dataMat,user,simMeas,item)itemScores.append((item,estimatedScore))# 按照评分得分 进行逆排序，获取前N个未评级物品进行推荐return sorted(itemScores,key=lambda jj:jj[1],reverse=True)[:N]def analyse_data(Sigma, loopNum=20):"""analyse_data(分析 Sigma 的长度取值)Args:Sigma         Sigma的值loopNum       循环次数"""# 总方差的集合（总能量值）Sig2 = Sigma**2SigmaSum = sum(Sig2)for i in range(loopNum):SigmaI = sum(Sig2[:i+1])'''根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。'''print('主成分: %s, 方差占比: %s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '4.2f')))# 图像压缩函数
# 加载并转换数据
def imgLoadData(filename):myl=[]# 打开文本文件，并从文件以数组方式读入字符for line in open(filename).readlines():newRow=[]for i in range(32):newRow.append(int(line[i]))myl.append(newRow)# 矩阵调入后，就可以在屏幕上输出该矩阵myMat = mat(myl)return myMat# 打印矩阵
def printMat(inMat, thresh=0.8):# 由于矩阵保护了浮点数，因此定义浅色和深色，遍历所有矩阵元素，当元素大于阀值时打印1，否则打印0for i in range(32):for k in range(32):if float(inMat[i, k]) > thresh:print(1, end=' ')else:print(0, end=' ')print('')# 实现图像压缩，允许基于任意给定的奇异值数目来重构图像
def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):"""imgCompress( )Args:numSV       Sigma长度   thresh      判断的阈值"""# 构建一个列表myMat=imgLoadData('data/14.SVD/0_5.txt')print("****original matrix****")# 对原始图像进行SVD分解并重构图像eprintMat(myMat, thresh)# 通过Sigma 重新构成SigRecom来实现# Sigma是一个对角矩阵，因此需要建立一个全0矩阵，然后将前面的那些奇异值填充到对角线上。U, Sigma, VT = la.svd(myMat)# SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))# for k in range(numSV):#     SigRecon[k, k] = Sigma[k]# 分析插入的 Sigma 长度analyse_data(Sigma, 20)SigRecon = mat(eye(numSV) * Sigma[: numSV])reconMat = U[:, :numSV] * SigRecon * VT[:numSV, :]print("****reconstructed matrix using %d singular values *****" % numSV)printMat(reconMat, thresh)

# 对矩阵进行SVD分解(用python实现SVD)
Data = loadExData()
print ('Data:', Data)
U, Sigma, VT = linalg.svd(Data)
# 打印Sigma的结果，因为前3个数值比其他的值大了很多，为9.72140007e+00，5.29397912e+00，6.84226362e-01
# 后两个值比较小，每台机器输出结果可能有不同可以将这两个值去掉
print ('U:', U)
print ('Sigma', Sigma)
print ('VT:', VT)
print ('VT:', VT.T)
# 重构一个3x3的矩阵Sig3
Sig3 = mat([[Sigma[0], 0, 0], [0, Sigma[1], 0], [0, 0, Sigma[2]]])
print (U[:, :3] * Sig3 * VT[:3, :])

# 计算欧氏距离
myMat = mat(loadExData())
# print myMat
print (ecludSim(myMat[:, 0], myMat[:, 1]))
print (ecludSim(myMat[:, 0], myMat[:, 0]))# 计算余弦相似度
print (cosSim(myMat[:, 0], myMat[:, 1]))
print (cosSim(myMat[:, 0], myMat[:, 0]))# 计算皮尔逊相关系数
print (pearsSim(myMat[:, 0], myMat[:, 1]))
print (pearsSim(myMat[:, 0], myMat[:, 0]))# 计算相似度的方法
myMat = mat(loadExData3())
# print myMat
# 计算相似度的第一种方式
print(recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst))
# 计算相似度的第二种方式
print(recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst, simMeas=pearsSim))
# 默认推荐（菜馆菜肴推荐示例）
print(recommend(myMat, 2))# 利用SVD提高推荐效果
U, Sigma, VT = la.svd(mat(loadExData2()))
print (Sigma)                 # 计算矩阵的SVD来了解其需要多少维的特征
Sig2 = Sigma**2             # 计算需要多少个奇异值能达到总能量的90%
print (sum(Sig2))             # 计算总能量
print (sum(Sig2) * 0.9)      # 计算总能量的90%
print (sum(Sig2[: 2]))        # 计算前两个元素所包含的能量
print (sum(Sig2[: 3]))        # 两个元素的能量值小于总能量的90%，于是计算前三个元素所包含的能量
# 该值高于总能量的90%，这就可以了# 压缩图片
imgCompress(3)