【智能算法】正切搜索算法（TSA）原理及实现

1.背景

2022年，A Layeb受到正切函数启发，提出了正切搜索算法（Tangent Search Algorithm, TSA）。

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2.算法原理

2.1算法思想

TSAT基于正切函数的数学模型将给定的解决方案移动到更好的解决方案，提出了切线飞线函数，其具有平衡开发与勘探搜索的优点。

在TSA中，所有的运动方程都由一个全局阶跃控制，其形式为 $step*tan(\theta)$ ，类似于levy飞行函数，称为正切飞行。

无论是基于导数还是无导数的最优算法都是基于如下的下降方程:
$X^{t+1}=X^t+\text{ step}*d\tag{1}$
其中step是移动的大小，d是移动的方向。
切线飞行乘以一个递减对数函数的行为。探索搜索在早期迭代中很大，在最后迭代中减少。TSA由三个主要部分组成:强化搜索、探索搜索和逃离局部最小。探索阶段的目的是很好地探索搜索空间并找到最有希望的候选对象。而强化分量则用于将搜索过程导向种群中当前的最佳解。最后，在随机搜索代理(解)的每次迭代中应用逃离局部最小值过程，以避免陷入局部最小值。
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2.2算法过程

强化搜索

在强化搜索中，TSA首先进行随机局部行走，然后将得到的解中的一些变量替换为当前最优解中对应变量的值。对于大于4的问题，替换变量的比例等于20%，对于小于或等于4个变量的问题，替换变量的比例等于50%。
$X_i^{t+1}=X_i^t+step*\tan(\theta)*\left(X_i^t-optS_i^t\right)\\X_i^{t+1}=optS_i^t\text{ if variable i is selected}\tag{2}$

探索搜索

TSA使用变步长与切线飞行的乘积来进行全局随机游动。正切函数有助于有效地探索搜索空间。h接近于/2会使正切值变大，得到的解会远离当前解，而h接近于0会使正切函数的值变小，得到的解会接近当前解。因此，探索搜索方程在全局随机漫步和局部随机漫步之间合并。将探索搜索方程应用于每个变量，其概率为1/D，其中D为问题的维度。
$X_i^{t+1}=X_i^t+\mathrm{step}*\tan(\theta)\tag{3}$
强化搜索和探索搜索是根据给定的概率进行的，称为Pswitch。

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逃离局部最小

为了避免局部最小停滞问题，TSA采用了一种机制通过使用如图所示的特定程序来处理这个问题，这个过程有两个部分以一定的概率执行。
$\begin{aligned}&X =X + R.*(\mathrm{opt}S- \mathrm{rand}*(\mathrm{opt}S-X))\\&X = X+ \tan(\tan)*(\mathrm{ub}-\mathrm{lb})\end{aligned}\tag{4}$

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与许多优化算法相比，TSA使用的参数较少，Pswitch, Pesc和step, h是强调开发和探索搜索的主要参数。TSA在早期采用较大的步长，随着搜索过程的进行，步长在迭代过程中呈非线性减小。切线飞行除了对步长有很大的影响外，还使其具有振荡性和周期性。为了适应挖掘和强化搜索过程，TSA采用了基于对数函数的自适应步长非线性递减格式。TSA使用两种步长变量，在强化搜索中使用第一个步长变量:
$\begin{array}{c}\mathrm{step}1=10*\mathrm{sign}(\mathrm{rand}-0.5)*\mathrm{norm}(\mathrm{opt}S)*\mathrm{log}(1+10*\dim/t)\end{array}\tag{5}$
在探索搜索中，步长为:
$\begin{aligned}\mathrm{step}2=1*\mathrm{sign}(\mathrm{rand}-0.5)*\mathrm{norm}(\mathrm{opt}S-X)/\mathrm{log}(20+t)\end{aligned}\tag{6}$
norm()是欧几里得范数，X是当前解，optS是当前最佳解，用于引导搜索过程走向最佳解。