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《线性代数》总复习要点、公式、重要结论与重点释疑

考研竞赛数学 2018-12-11 08:07

本文内容配套教材：同济版：线性代数 (第五版)，来源于武汉大学数学与统计学院信息与计算科学系黄正华老师个人网页，分享仅供学习参考交流，相关课程更多内容通过黄老师个人网站获取，网址：

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【数学】线性代数知识点总结 (精炼版)

阿夢 _zhihu 编辑于 2022-07-26 00:06

第 1 章 行列式

1.1 全排列和对换

全排列：把 $n$ 个不同的元素排成一列，叫做这 $n$ 个元素的全排列，简称排列。例如， { 5 , 3 , 4 , 2 , 1 } \{5, 3, 4, 2, 1\} {5,3,4,2,1} 是一个排列。
全排列的个数记 $P_n$ 为 $n$ 个元素的全排列的个数，则有

$$P_n=n!$$

排列数记 $P_n^m$ 为从 $n$ 个不同的元素中取出 $m$ 个元素的全排列的个数，则有

$$P_n^m=A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

特别地，当 $m=n$ 时，$P_n^m=P_n$ 成立。

逆序：在全排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成 1 个逆序。

逆序数：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。记排列 $a_n$ 的逆序数为 $t$，则有

$$t=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i-1}[a_i<a_j]$$

奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动的操作叫做对换。特别地，将相邻的两个元素对换，叫做相邻对换。
对换定理：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

1.2 n 阶行列式

$n$ 阶行列式：设有 $n^2$ 个数，排成 $n$ 行 $n$ 列的数表

$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}$$

定义 $n!$ 项代数和

$$D=\sum _{i=1}^n(-1{)}^t\prod _{j=1}^n{a}_{j{p}_j}$$

其中 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 为 $n$ 的所有排列，$t$ 为排列 $p_n$ 的逆序数。则称上式为 $n$ 阶行列式，记作

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

简记作 $det(a_{ij})$，其中 $a_{ij}$ 为行列式 $D$ 的 $(i,j)$ 元。

上 (下) 三角行列式：主对角线以下 (上) 的元素都为 0 的行列式叫做上 (下) 三角行列式；特别地，除主对角线以外，其余元素都为 0 的行列式叫做对角行列式。

上 (下) 三角行列式和对角行列式满足

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ a_{21}& a_{22}& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\prod _{i=1}^n{a}_{ii}$$

$$\left|\begin{array}{llll}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$$

1.3 行列式的性质

• 性质 1：行列式 $D$ 与它的转置行列式 $D^T$ 相等，即 $det(a_{ij})=det(a_{ji})$。

• 性质 2：对换行列式的两行 (列)，行列式变号。

  • 性质 2 推论：若行列式 $D$ 存在两行 (列) 完全相同，则 $D=0$。

• 性质 3：行列式的某一行 (列) 中的所有元素都乘同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此行列式，即

  $$D\stackrel{r_i\times k}{=}kD$$

$$D\stackrel{c_j\times k}{=}kD$$

• 性质 4：若行列式 $D$ 中存在两行 (列) 元素成比例，则 $D=0$。

• 性质 5：若行列式 $D$ 的某一行 (列) 的元素都是两数之和，则行列式 $D$ 满足

• 性质 6：把行列式 $D$ 的某一行 (列) 的各元素的 $k$ 倍加到另一行 (列)，行列式不变，即

$$D\stackrel{r_j+k{r}_i}{=}D$$

$$D\stackrel{c_q+k{c}_p}{=}D$$

• 分块 (矩阵) 行列式：设
  $$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}& & & \\ ⋮& & ⋮& & & \\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}& & & \\ c_{11}& \cdots & c_{1k}& b_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& \cdots & c_{nk}& b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|$$
  则有
  $$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|=AB$$

  类似地，有

  $$\left|\begin{array}{ll}A& C\\ O& B\end{array}\right|=AB$$

1.4 行列式按行 (列) 展开

• 余子式：在 $n$ 阶行列式中，把 $a_{ij}$ 所在的行和列划去后，留下的 $n-1$ 阶行列式叫做 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。

• 代数余子式：记

  $$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$
  则 $A_{ij}$ 叫做 $a_{ij}$ 的代数余子式。

• 行列式按行 (列) 展开法则：行列式 $D$ 等于它任一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

• $$D=\sum _{i=1}^n{a}_{pi}{A}_{pi}=\sum _{i=1}^n{a}_{iq}{A}_{iq}$$

• Vandermonde 行列式：
  $$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{n\ge i>j\ge 1}(x_i-x_j)$$

第 2 章 矩阵及其运算

2.1 线性方程组和矩阵

• $n$ 元线性方程组：设有 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的线性方程组

  $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

  当常数项 $b_i$ 不全为零时，称该方程组为 $m$ 元非齐次线性方程组，当 $b_i$ 全为零时，称该方程组为 $n$ 元齐次线性方程组。

• 矩阵：由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表

  $$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}$$

  称为 $m\times n$ 矩阵，记作

  $$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

  特别地，当 $m=n$ 时，该矩阵叫做 $n$ 阶方阵。

• 增广矩阵：对于非齐次线性方程组

  $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

  它的系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵分别如下：

  $$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$$
  $$x=\left(\begin{array}{llll}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right)$$
  $$b=\left(\begin{array}{llll}{b}_1& b_2& \cdots & b_m\end{array}\right)$$

  它的增广矩阵定义为

  $$B=(A|b)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$

• 对角矩阵：方阵

  $$\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

  叫做对角矩阵，简称对角阵，记作 $diag({\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n)$。

• 单位矩阵：对角矩阵 $diag(1,1,\cdots ,1)$ 叫做 $n$ 阶单位矩阵，简称单位阵，记作 $E_n$。

2.2 矩阵的运算

• 矩阵加法
  

  矩阵加法满足：

  • $A+B=B+A$
  • $(A+B)+C=A+(B+C)$

• 矩阵数乘
  

  矩阵数乘满足：

  • $cA=Ac$
  • $(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
  • $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$
  • $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

  矩阵乘法：对于 $m\times s$ 矩阵 $A$ 和 $s\times n$ 矩阵 $B$，它们的乘法定义为 $C=AB=(c_{ij}{)}_{m\times n}$，且满足

  $$c_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}(i\in \mathbb{Z}\le m,j\in \mathbb{Z}\le n)$$

  矩阵乘法满足：

• $(AB)C=A(BC)$

• $c(AB)=(cA)B=A(cB)$

• $A(B+C)=AB+AC$

• $(B+C)A=BA+CA$
  需要注意的是，$AB\ne BA(B\ne E)$。

• 矩阵转置：矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 的转置矩阵记作 $A^T$，且满足

  $$A^T=(a_{ji}{)}_{n\times m}$$

  矩阵转置满足：

  • $(A^T{)}^T=A$
  • $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
  • $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
  • $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

• 方阵的行列式：由 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素所构成的行列式，称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $detA$ 或 $|A|$。
  方阵的行列式满足：

  • $|A^T|=|A|$
  • $|\lambda A|={\lambda }^n|A|$ ，其中 $n$ 为矩阵 $A$ 的阶数
  • $|AB|=|A||B|$

2.3 逆矩阵

• 伴随矩阵：行列式 $|A|$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下的矩阵
  $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$
  称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，简称伴随阵，记作 $A^{\ast }$。
  矩阵 $A$ 和它的伴随矩阵 $A^{\ast }$ 满足
  $$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$
• 逆矩阵：对于 $n$ 阶矩阵 $A$，如果有一个 $n$ 阶矩阵 $B$，使得
  $$AB=BA=E$$
  则说矩阵 $A$ 是可逆的，并把矩阵 $B$ 称为矩阵 $A$ 的逆矩阵，简称逆阵，记作 $A^{-1}$。
  如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $A$ 的逆矩阵是惟一的。
  矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A|\ne 0$ 。若 $|A|\ne 0$ ，则
  $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
  逆矩阵满足：
  • $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
  • $(\lambda A{)}^{-1}={\lambda }^{-1}{A}^{-1}$
  • 若 $A$、$B$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
• 奇异矩阵：不可逆矩阵叫做奇异矩阵。
• 非奇异矩阵：可逆矩阵叫做非奇异矩阵。

2.4 Cramer 法则

Cramer 法则：如果线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots =b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots =b_n\end{array}$$

的系数矩阵 $A$ 的行列式不等于零，即

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$$

则该方程组有惟一解

$$x_i=\frac{|A_i|}{|A|}$$

其中
$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

第 3 章 矩阵的初等变换与线性方程组

3.1 矩阵的初等变换

• 矩阵的初等变换：下面三种变换称为矩阵的初等变换
  • 对换两行 (列)，记作 $r_i\leftrightarrow r_j(c_i\leftrightarrow c_j)$
  • 以数 $k\ne 0$ 乘某一行 (列) 中的所有元，记作 $r_i\times k(c_i\times k)$
  • 把某一行 (列) 所有元的 $k$ 倍加到另一行 (列) 对应的元上去，记作 $r_j+k{r}_i(c_q+k{c}_p)$
• 矩阵等价：如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$，就称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价，记作 $A\sim B$。
  矩阵等价满足：
  • $A\sim A$
  • 若 $A\sim B$，则 $B\sim A$
  • 若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$
• 定理：设 $A$ 与 $B$ 为 $m\times n$ 矩阵，那么
  • $A\stackrel{r}{\sim }B$ 的充分必要条件是 $\exists P=(p_{ij}{)}_{m\times m}$ ，$|P|\ne 0$ s.t.$PA=B$
  • $A\stackrel{r}{\sim }B$ 的充分必要条件是 $\exists Q=(q_{ij}{)}_{n\times n}$ ，$|Q|\ne 0$ s.t.$AQ=B$
  • $A\sim B$ 的充分必要条件是 $\exists P=(p_{ij}{)}_{m\times m}$ ，$Q=(q_{ij}{)}_{n\times n}$ ，$|P|\ne 0$ ，$|Q|\ne 0$ s.t.$PAQ=B$

3.2 矩阵的秩

• 子式：在 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式。
• 秩：若矩阵 $A$ 中存在一个不为零的 $r$ 阶子式，且所有 $r+1$ 阶子式全为零，那么数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$。规定零矩阵的秩为 0。
  矩阵的秩有以下性质：
  • 0 ≤ R ( ( a i j ) m × n ) ≤ min ⁡ { m , n } 0 \leq R ((a_{ij})_{m×n}) \leq \min \{m, n\} 0≤R((aij​)m×n​)≤min{m,n}
  • $R((A{)}^T)=R(A)$
  • $|(a_{ij}{)}_{n\times n}|=0$，$R((a_{ij}{)}_{n\times n})<n$
  • 若 $A\sim B$，则 $R(A)=R(B)$
  • max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) \max \{R (A), R (B)\} \leq R (A, B) \leq R (A)+R (B) max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
  • $R(A+B)\le R(A)+R(B)$
  • R ( A B ) ≤ min ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } R (AB) \leq \min \{R (A), R (B)\} R(AB)≤min{R(A),R(B)}
  • 若 $A_{m\times n}{B}_{n\times l}=O$，则 $R(A)+R(B)\le n$

3.3 方程组的解

• n 元齐次线性方程组解的判定：$n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 解的情况如下：

  • 有非零解的充分必要条件是 $R(A)<n$，即 $|A|=0$
  • 只有零解的充分必要条件是 $R(A)=n$，即 $|A|\ne 0$

• n 元非齐次线性方程组解的判定：$n$ 元非齐次线性方程组 $Ax=b$ 解的情况如下：

  • 无解的充分必要条件是 $R(A)<R(A,b)$
  • 有解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)$ ，其中
    • 有惟一解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)=n$
    • 有无穷多解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)<n$

• 矩阵方程解的判定：矩阵方程 $AX=B$ 解的情况如下：

  • 无解的充分必要条件是 $R(A)<R(A,B)$
  • 有解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,B)$

第 4 章 向量组的线性相关性

4.1 向量组及其线性组合

• 向量组的线性组合：给定向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$，对于任何一组实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，表达式

  $$\sum _{i=1}^m{k}_i{a}_i$$

  称为向量组 $A$ 的一个线性组合，$k_i(1\le i\le m)$ 称为这个线性组合的系数。

• 向量的线性表示：给定向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 和向量 $b$，如果存在一组数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使

  $$b=\sum _{i=1}^m{k}_i{a}_i$$

  则称向量 $b$ 能由向量组 $A$ 线性表示。

  向量组 $A$ 可以写成 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $A=(\begin{array}{llll}{a}_1& a_2& \cdots & a_m\end{array})$，则向量 $b$ 能由向量组 $A$ 线性表示可写成

  $$b=A\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_m\end{array}\right)$$
  有解，即 $R(A)=R(A,b)$ 。

• 向量组的线性表示：给定向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 和 $B:b_1,b_2,\cdots ,b_l$，若 $B$ 中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表示，则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示。类似地，有
  $$B=A\left(\begin{array}{cccc}{k}_{11}& k_{12}& \cdots & k_{1l}\\ k_{21}& k_{22}& \cdots & k_{2l}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k_{m1}& k_{m2}& \cdots & k_{ml}\end{array}\right)$$
  有解，即 $R(A)=R(A,B)$ 。

• 向量组等价：给定向量组 $A$ 和 $B$，如果它们能互相线性表示，则称这两个向量组等价。类似地，有
  

有解，即 $R(A)=R(A,B)=R(B)$ 。

4.2 向量组的线性相关性

• 向量组的线性相关性：给定向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$，如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使

  $$\sum _{i=1}^m{k}_i{a}_i=0$$

  则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它是线性无关的。

  • 向量组 $A$ 线性相关的充分必要条件是 $R(A)<m$
  • 向量组 $A$ 线性无关的充分必要条件是 $R(A)=m$

4.3 向量组的秩

• 向量组的秩：给定向量组 $A$，如果能在 $A$ 中选出 $r$ 个向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$，满足
  • 向量组 $A_0:a_1,a_2,\cdots ,a_r$ 线性无关
  • 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量都线性相关
    则称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个最大线性无关组，简称最大无关组，$r$ 称为向量组 $A$ 的秩，记作 $R_A$。
• 定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

4.4 线性方程组解的结构

对于一个向量方程 $Ax=0$：

• 若 $x={\xi }_1$，$x={\xi }_2$ 是该方程的解，则 $x={\xi }_1+{\xi }_2$ 也是该方程的解

• 若 $x={\xi }_1$ 是该方程的解，则 $x=k{\xi }_1(k\in \mathbb{R})$ 也是该方程的解

• 基础解系：齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。

• 齐次线性方程组解的结构：设向量方程 $Ax=0$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$，则增广矩阵 $(A,0)$ 的行最简形矩阵为

  $$\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1,n-r}& 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 1& b_{r1}& \cdots & b_{r,n-r}& 0\\ 0& & \cdots & & 0& 0& \\ ⋮& & & & ⋮& ⋮& \\ 0& & \cdots & & 0& 0& \end{array}\right)$$

  则有

  $$\{\begin{array}{l}{x}_1=-b_{11}{x}_{r+1}-\cdots -b_{1,n-r}{x}_n\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_r=-b_{r1}{x}_{r+1}-\cdots -b_{r,n-r}{x}_n\end{array}$$

令 $x_{r+1},\cdots ,x_n$ 作为自由变量，并令它们依次等于 $c_1,\cdots ,c_{n-r}$，可得齐次线性方程组的通解

把上式记作 $x={\sum }_{i=1}^{n-r}{c}_i{\xi }_i$，则 ${\xi }_i$ 为齐次线性方程组的基础解系。

• 定理：设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=r$，则 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解集 $S$ 的秩 $R_S=n-r$。

对于一个向量方程 $Ax=b$：

• 若 $x={\eta }_1$，$x={\eta }_2$ 是该方程的解，则 $x={\eta }_1-{\eta }_2$ 是方程 $Ax=0$ 的解

• 若 $x=\eta$ 是该方程的解，$x=\xi$ 是方程 $Ax=0$ 的解，则 $x=\xi +\eta$ 也是方程 $Ax=b$ 的解

• 非齐次线性方程组解的结构：向量方程 $Ax=b$ 的通解为

  $$x={\eta }^{\ast }+\sum _{i=1}^{n-r}{c}_i{\xi }_i$$

  其中 ${\sum }_{i=1}^{n-r}{c}_i{\xi }_i$ 是方程 $Ax=0$ 的通解，${\eta }^{\ast }$ 是方程 $Ax=b$ 的任一解（称为特解）。

4.5 向量空间

• 向量空间：设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 满足

  • $V\ne \varnothing$

  • $\forall a,b\in V$，$k\in \mathbb{R}$，s.t. $a+b\in V$，$ka\in V$

    则称集合 $V$ 为向量空间。特别地，全体 $n$ 维向量构成的向量空间记作 ${\mathbb{R}}^n$。

    一般地，由向量组 $a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 所张成的向量空间为

    $$L=\left\{x=\sum _{i=1}^m{k}_i{a}_i|k_1,\cdots ,k_m\in \mathbb{R}\right\}$$

• 等价向量空间：给定向量空间

  $$L_1=\left\{x=\sum _{i=1}^m{k}_i{a}_i|k_1,\cdots ,k_m\in \mathbb{R}\right\}$$

  $$L_2=\left\{x=\sum _{i=1}^m{k}_i{b}_i|k_1,\cdots ,k_m\in \mathbb{R}\right\}$$

  若向量组 $a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 和 $b_1,b_2,\cdots ,b_m$ 等价，则向量空间 $L_1$ 和 $L_2$ 等价。

• 子空间：给定向量空间 $V$ 和 $V_{sub}$，若 $V_{sub}\subseteq V$，则称 $V_{sub}$ 是 $V$ 的子空间。

• 基：设 $V$ 为向量空间，若 $a_i\in V(1\le i\le r)$，且满足

  • $a_i$ 线性无关

  • $\forall v\in V$，s.t. $v={\sum }_{i=1}^r{k}_i{a}_i(k_i\in \mathbb{R})$
    那么，向量组 $a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 就称为向量空间 $V$ 的一个基，$r$ 称为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间。
    如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$，那么 $V$ 中任一向量 $x$ 可惟一表示为

    $$x=\sum _{i=1}^r{k}_i{a}_i$$

    数组 $(k_1,k_2,\cdots ,k_r)$ 称为向量 $x$ 在基 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$ 中的坐标。

第 5 章 相似矩阵及二次型

5.1 向量的内积、长度及正交性

• 内积：设有 $n$ 维向量
  $$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$$

  $$[x,y]=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$$

  则称 $[x,y]$ 为向量 $x$ 与 $y$ 的内积。

  内积具有下列性质：

  • $[x,y]=[y,x]$
  • $[\lambda x,y]=\lambda [x,y]$
  • $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$

• Cauchy - Schwarz 不等式：
  $$[x,y{]}^2\le [x,x][y,y]$$

• 向量的长度 (2 - 范数)：
  $$\Vert x\Vert =\sqrt{[x,x]}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$
  则称 $\Vert x\Vert$ 为向量 $x$ 的长度，又称 2 - 范数。

• 夹角：令
  $$\theta =\arctan \frac{[x,y]}{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }$$
  则称 $\theta$ 为向量 $x$ 与 $y$ 的夹角。

• 正交：当 $[x,y]=0$ 时，称向量 $x$ 与 $y$ 正交。向量 $x$ 与 $y$ 正交时，$\theta =\frac{\pi }{2}$。

• 正交矩阵：如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足

  $$A^{T}A=E$$
  即
  $$A^{-1}=A^T$$
  则称矩阵 $A$ 为正交矩阵，简称正交阵。

5.2 方阵的特征值与特征向量

• 特征值：设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $x$ 使

  $$Ax=\lambda x$$

  成立，则 $\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的特征值，$x$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

• 特征方程：方程 $Ax=\lambda x$ 可写成

  $$(A-\lambda E)x=0$$

  它有非零解的充分必要条件是 $|A-\lambda E|=0$，即

  $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0$$

  上式称为矩阵 $A$ 的特征方程。多项式 $f(\lambda )=|A-\lambda E|$ 称为矩阵 $A$ 的特征多项式。矩阵 $A$ 的特征值就是该矩阵特征方程的解。
  对于矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值，满足：

  • ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$
  • ${\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$

5.3 相似矩阵

• 相似矩阵：设 $A$、$B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $P$，使得
  $$P^{-1}AP=B$$
  则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，对 $A$ 进行 $P^{-1}AP$ 运算称为对 $A$ 进行相似变换，可逆矩阵 $P$ 称为把 $A$ 变成 $B$ 的相似变换矩阵。

  若矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同，进而特征值也相同。

  若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵

  $$\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

  相似，则 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值。

• 矩阵对角化：寻求相似变换矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$ 为对角矩阵，这样的过程称为矩阵对角化。
  $n$ 阶矩阵 $A$ 能对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

5.4 对称矩阵的对角化

定理：设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征方程的 $k$ 重根，则矩阵 $A-\lambda E$ 的秩 $R(A-\lambda E)=n-k$，从而对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量。

5.5 二次型及其标准型

• 二次型：含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的二次齐次函数

  $$f=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

  称为二次型。特别地，当 $a_{ij}$ 为复数时，$f$ 称为复二次型；当 $a_{ij}$ 为实数时，$f$ 称为实二次型。

• 标准型：对于二次型，若有可逆的线性变换

  $$x_i=\sum _{k=1}^n{c}_{ik}{y}_k,1\le k\in \mathbb{Z}\le n$$

  使二次型只含平方项，也就是说

  $$f=\sum _{i=1}^n{k}_i{y}_i^2$$
  成立。这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）。

• 规范型：如果标准型的系数 $k_i$ 满足
  k i ∈ { − 1 , 0 , 1 } k_{i} \in \{-1, 0, 1\} ki​∈{−1,0,1}
  ，则该标准型称为二次型的规范型。

• 二次型的矩阵：二次型
  $$f=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

则二次型 $f$ 可记作
$$f=x^{T}Ax$$
其中，对称矩阵 $A$ 称为二次型 $f$ 的矩阵，二次型 $f$ 称为对称矩阵 $A$ 的二次型。

• 合同：设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $C$，使 $B=C^{T}AC$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同。

5.6 正定二次型

• 惯性定理：设二次型 $f=x^{T}Ax$ 的秩为 $r$，且有两个可逆变换 $x=Cy$ 及 $x=Pz$ 使
  $$f=\sum _{i=1}^r{k}_i{y}_i^2,k_i\ne 0$$
  及
  $$f=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{z}_i^2,{\lambda }_i\ne 0$$
  则 $k_1,\cdots ,k_r$ 中正数的个数与 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r$ 中正数的个数相等。
• 正定二次型：设二次型 $f(x)=x^{T}Ax$，如果对 $\forall x\ne 0$，都有 $f(x)>0$，则称 $f$ 为正定二次型，并称对称矩阵 $A$ 是正定的；如果对 $\forall x\ne 0$，都有 $f(x)<0$，则称 $f$ 为负定二次型，并称对称矩阵 $A$ 是负定的。
• Hurwitz 定理：对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是 $A$ 的各阶主子式都为正；对称矩阵 $A$ 为负定的充分必要条件是 $A$ 的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。

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Ref 1 / 2

• 线性代数 | 知识点整理 Ref 1-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/u013669912/article/details/147263380

• 线性代数 | 知识点整理 Ref 2-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/u013669912/article/details/147263760

via:

• 《线性代数》总复习要点、公式、重要结论与重点释疑_参考
  https://www.sohu.com/a/280972453_600110

• 【数学】线性代数知识点总结（精炼版） - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/453305373

• 《线性代数》知识点汇总 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/457894126

• linear algebra（Lucas Shen）February 23, 2023
  http://home.ustc.edu.cn/~lucasshen/notes/linear algebra.pdf