算法——分支限界

学习目标：

掌握算法入门知识

学习内容：

分支限界的定义
例题详细步骤讲解（找牛）

1. 分支限界的定义

分支限界法是一种用于求解组合优化问题的算法框架，通过 系统性地搜索解空间树，并结合 剪枝策略 来避免无效搜索，从而高效地找到最优解（如最小化代价或最大化收益）。其核心思想是：

分支（Branch）：将当前问题分解为若干子问题（即扩展解空间树的分支）。例如：在旅行商问题（TSP）中，从一个城市出发，分支为所有可能的下一站城市。
限界（Bound）：计算每个子问题的代价下界（对于最小化问题）或收益上界（对于最大化问题）。若某分支的当前界限差于已知最优解，则直接剪枝，不再继续搜索该分支。

队列式分支限界法：将活结点表组织成一个队列，并按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个结点为扩展结点。步骤如下：

（1）将根结点加入活结点队列。
（2）从活结点队中取出队头结点，作为当前扩展结点。
（3）对当前扩展结点，先从左到右地产生它的所有孩子结点，用约束条件检查，把所有满足约束条件的孩子结点加入活结点队列。
（4）重复步骤（2）和（3），直到找到一个解或活结点队列为空为止。

2. 例题详细步骤讲解（找牛）

农夫知道一头牛的位置，想要抓住它。
农夫和牛都位于数轴上，农夫起始位于点N(0<=N<=100000)，牛位于K(0<=K<=100000)。假设牛没有意识到农夫的行动，站在原地不动。农夫最少要花多少时间才能抓住牛？
农夫有两种移动方式：
<1> 从X移动到X-1或X+1，每次移动花费一分钟
<2> 从X移动到2*X，每次移动花费一分钟

假设农夫起始位于点2，牛位于7。即N=2，K=7。最右边是8。如何搜索到一条走到7的路径？
在这里插入图片描述
思路：分支限界法采用广度优先搜索。
初始化Queue = [ (2, 0) ]（初始位置 2，步数 0），visited = [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]（2 已访问）

（1）当前位置为2，可能的移动：2 → 1（左移）2 → 3（右移）2 → 4（跳跃）
更新队列：Queue = [ (1,1), (3,1), (4,1) ]，visited 标记 1,3,4 为已访问
（2）当前位置 = 1，可能的移动：1 → 0（左移）1 → 2（右移，2 已访问）1 → 2（跳跃，2 已访问）
更新队列：Queue = [ (3,1), (4,1), (0,2) ]，visited 标记 0 为已访问
（3）当前位置 = 3，可能的移动：3 → 2（左移，2 已访问）3 → 4（右移，4 已访问）3 → 6（跳跃）
更新队列：Queue = [ (4,1), (0,2), (6,2) ]，visited 标记 6 为已访问
（4）当前位置 = 4，可能的移动：4 → 3（左移，3 已访问）4 → 5（右移）4 → 8（跳跃）
更新队列：Queue = [ (0,2), (6,2), (5,2), (8,2) ]，visited 标记 5,8 为已访问
（5）当前位置 = 0，可能的移动：0 → -1（左移，超出范围，忽略）0 → 1（右移，1 已访问）0 → 0（跳跃，无意义）
无新位置可扩展，队列更新：Queue = [ (6,2), (5,2), (8,2) ]
（6）当前位置 = 6，可能的移动：6 → 5（左移，5 已访问）6 → 7（右移）6 → 12（跳跃，12 > 8，超出范围（限界））
发现 7 是目标！当前步数：2（从 2→4→6） + 1（从 6→7） = 3 分钟

得到最优路径：2 → 4 → 6 → 7（共 3 分钟）

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>#define MAXN 100000int N, K;
int visited[MAXN + 10]; // 判重标记数组，visited[i]=1表示位置i已经访问过// 定义结构体表示每一步的状态
typedef struct {int x;      // 当前位置int steps;  // 到达当前位置所需的步数
} Step;// 队列结构定义
typedef struct {Step data[MAXN + 10]; // 队列数据存储int front;           // 队首指针int rear;            // 队尾指针
} Queue;// 初始化队列
void initQueue(Queue *q) {q->front = 0;q->rear = -1;
}// 判断队列是否为空
int isEmpty(Queue *q) {return q->front > q->rear;
}// 入队操作
void enqueue(Queue *q, Step s) {if (q->rear < MAXN + 9) { // 防止队列溢出q->data[++(q->rear)] = s;}
}// 出队操作
Step dequeue(Queue *q) {return q->data[(q->front)++];
}int main() {// 输入农夫和牛的位置scanf("%d %d", &N, &K);// 初始化访问标记数组memset(visited, 0, sizeof(visited));Queue q;initQueue(&q);// 将初始状态加入队列enqueue(&q, (Step){N, 0});visited[N] = 1; // 标记初始位置已访问while (!isEmpty(&q)) {Step current = dequeue(&q);// 如果当前位置就是牛的位置，输出步数并结束if (current.x == K) {printf("%d\n", current.steps);return 0;}// 尝试三种可能的移动方式// 1. 向左移动一步if (current.x - 1 >= 0 && !visited[current.x - 1]) {enqueue(&q, (Step){current.x - 1, current.steps + 1});visited[current.x - 1] = 1; // 标记已访问}// 2. 向右移动一步if (current.x + 1 <= MAXN && !visited[current.x + 1]) {enqueue(&q, (Step){current.x + 1, current.steps + 1});visited[current.x + 1] = 1; // 标记已访问}// 3. 跳跃到两倍位置if (current.x * 2 <= MAXN && !visited[current.x * 2]) {enqueue(&q, (Step){current.x * 2, current.steps + 1});visited[current.x * 2] = 1; // 标记已访问}}return 0;
}