解：
（1）对于函数 $$f(x)=\frac{1}{x}$$ 和点 $$M(1,0)$$，构造函数 $$s(x)=(x-1{)}^2+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2$$。求导得到 $$s^{\prime }(x)=2(x-1)-\frac{2}{x^3}$$。解方程 $$s^{\prime }(x)=0$$ 即 $$x-1-\frac{1}{x^3}=0$$，通过中间值定理可知存在解。二阶导数 $$s^{\prime \prime }(x)=2+\frac{6}{x^4}>0$$，说明存在极小值点，因此存在最近点 $$P$$。

（2）对于函数 $$f(x)=e^x$$和点 $$M(1,0)$$，构造函数 $$s(x)=(x-1{)}^2+e^{2x}$$。求导得到 $$s^{\prime }(x)=2(x-1)+2e^{2x}$$，解方程 $$s^{\prime }(x)=0$$ 得 $$x=0$$。验证 $$x=0$$ 处的二阶导数 $$s^{\prime \prime }(0)=2+4e^0=6>0$$，说明存在极小值点 $$P(0,1)$$。直线 $$MP$$ 的斜率为 -1，切线斜率为 1，乘积为 -1，满足垂直条件，因此存在这样的点 $$P$$。

（3）对于点 $$M_1(t-1,f(t)-g(t))$$ 和 $$M_2(t+1,f(t)+g(t))$$，构造函数 $$s_1(x)$$ 和 $$s_2(x)$$。通过求导并联立方程，得到 $$f^{\prime }(x_0)=-\frac{1}{g(t)}$$。由于 $$g(t)$$ 恒正，$$f^{\prime }(x_0)$$ 必须恒负，说明 $$f(x)$$ 在 $$\mathbb{R}$$ 上单调递减。

最终答案：
（1）$$\text{存在}$$

（2）$$\text{存在}$$

（3）$$\mathbf{f}(\mathbf{x})\text{在}\mathbb{R}\text{上单调递减}$$