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递归实现指数型枚举

题目

算法解析

递归实现排列型枚举

题目

算法解析

费解的开关

题目

算法解析

递归实现组合型枚举

题目

算法解析

带分数

题目

算法解析

飞行员兄弟

题目

算法解析

翻硬币

题目

算法解析

递归实现指数型枚举

题目

算法解析

对于1-n中任意的数来说，考虑这个数时只会面临两种情况

最终结果选择该数
最终结果不选择该数

我们只需要枚举每个数的两个状态：选和不选，考虑完后递归到下一层考虑下一个数即可

时间复杂度：2 × 2 .... × 2 = 2 ^ n

题中n为15，2^15 = 32768 ，符合要求

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 16;
int path[N];
bool st[N]; //st[i]为true，表示选第i个数，st[i]为false，表示不选该数
int n;
void dfs(int u)
{if(u > n){//前n个数全部考虑完了，输出方案for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)if(st[i]) cout << i << " ";cout << endl;return;}//1.不选u，直接进入到下一层dfs(u+1);//2.选u，进入到下一层st[u] = true;dfs(u+1);st[u] = false; //恢复现场
}
int main()
{cin >> n;dfs(1); return 0;
}

递归实现排列型枚举

题目

算法解析

首先考虑排列型枚举与指数型枚举的区别

指数型枚举考虑的角度是对于1-n中的所有数，选和不选所产生的所有方案。
排列型枚举考虑的角度是对于1-n中的所有数必须选。它们分别可以放在哪个位置

所以排列型枚举的结果长度已经是固定了。我们分别考虑每个位置能放哪个元素。

假设n为3，可以画出如下树

只需要通过深度优先遍历，当遍历到树的叶子节点时就把答案数组输出
具体操作就是考虑答案数组的第一个位置填什么，若填的数是合法的，那么就递归到下一层
注意：不能填已经填过的数，例如第一个位置填的是3，那么我们填第二个位置时就不能填3了。我们可以使用一个st数组来标识这个位置能填什么

时间复杂度：O(n! * n)

该题中n为10，10! * 10 = 36288000，由于代码常数比较小，所以该数量级其实符合题目要求

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int path[N]; //答案数组
bool st[N]; //st[i] 为true标识i不能选了，为false表示能选i
int n;
void dfs(int u)
{if(u > n) //前n个位置都考虑完了输出即可{for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)cout << path[i] << " ";cout << endl;return;}for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){if(!st[i]){path[u] = i; //第u个数填ist[i] = true;dfs(u+1);st[i] = false; //恢复现场}}
}
int main()
{cin >> n;dfs(1); //从第1个位置开始考虑return 0;
}

费解的开关

题目

算法解析

首先先考虑暴力枚举的方式，我们是否可以用指数型枚举的方式来枚举所有的按法呢？

实际上是可以的，每一个位置的按钮都只有按和不按两种状态，如果我们枚举所有方案，那么正确答案一定会被枚举到。

但时间复杂度为O(2^25 n)，题目中2^25 = 33554432 , 而题目中n为500，显然必超时。

注意：对于有些相似题目来说，其实可以使用暴力解法的，这里把暴力解法也留在下面。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 6;
int T;
char g[N][N] , backup[N][N];
int dx[5] = {-1,0,1,0,0} , dy[5] = {0,0,0,-1,1};
//dx为方向向量，对应为上、中、下、左、右
//turn函数的功能是按下(x,y)位置的按钮，并处理它所带来的连锁反应
void turn(int x , int y)
{for(int i = 0 ; i < 5 ; ++i){int a = x + dx[i] , b = y + dy[i];if(a >= 0 && a < 5 && b >= 0 && b < 5){g[a][b] = ((g[a][b] - '0') ^ 1) + '0'; //按下开关(0变1,1变0)}}
}int main()
{cin >> T;while(T--){for(int i = 0 ; i < 5 ; ++i)    scanf("%s",g[i]);//枚举所有方案int res = 10;memcpy(backup,g,sizeof g);for(int i = 0 ; i < 1 << 25 ; ++i){int step = 0;for(int j = 0 ; j < 25 ; ++j){if(i >> j & 1){step++;turn(j / 5 , j % 5);}}bool has_sol = true;//判断该方案是否为解for(int j = 0 ; j < 5 ; ++j)for(int k = 0 ; k < 5 ; ++k)if(g[j][k] == '0') has_sol = false;if(has_sol && step <= 6) res = min(res , step);memcpy(g,backup,sizeof backup);}if(res <= 6) cout << res << endl;else cout << "-1" << endl;}return 0;
}

接下来就是说明一下正解了。

假设我们已经知道了第一行应该怎么按最后才能得到解，接下来考虑第二行时我们应该怎么做呢？

由于第一行得按法已经确定了，那么此时第二行必须使得第一行当中为0的位置变为1，因为题目要求全部为1。如果第一行的某个位置在按完以后为1，那么我们在第二行按的时候就绝对不能按它对应的位置，因为他会使得第一行的1变为0

如下图：

第一行确定，假设如下：

由于第一行为0的位置下面的位置必须按，第一行为1的位置必须不按，所以第二行怎么按实际上是确定的，如下图：

此时第三行与第二行考虑的方式也一样，第二行为0的位置下面的位置必须得按，第二行为1的位置下面的位置必须不按。不再赘述了

当最终到了第5行，由于已经没有第6行来改变它的状态了，那么此时如果第5行为0那也没办法，说明没解。如果第五行为1说明有解，统一一下按的次数，如果小于6，则更新结果。

最后一个问题：第一行怎么按是怎么确定的呢？

我们可以通过指数型枚举的方式枚举第一行的按法，如果有正确按法，则枚举一定能枚举到

时间复杂度：2^5*5*n =80000，符合题目要求

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 6;
int T;
char g[N][N] , backup[N][N];
int dx[5] = {-1,0,1,0,0} , dy[5] = {0,0,0,-1,1};
//dx为方向向量，对应为上、中、下、左、右
//turn函数的功能是按下(x,y)位置的按钮，并处理它所带来的连锁反应
void turn(int x , int y)
{for(int i = 0 ; i < 5 ; ++i){int a = x + dx[i] , b = y + dy[i];if(a >= 0 && a < 5 && b >= 0 && b < 5){g[a][b] = ((g[a][b] - '0') ^ 1) + '0'; //按下开关(0变1,1变0)}}
}int main()
{cin >> T;while(T--){for(int i = 0 ; i < 5 ; ++i)    scanf("%s",g[i]);//枚举所有方案int res = 10;memcpy(backup,g,sizeof g);for(int i = 0 ; i < 1 << 5 ; ++i){int step = 0;for(int j = 0 ; j < 5 ; ++j){if(i >> j & 1){step++;turn(0 , j);}}//第一行确定了接下来的所有行的按法都确定了for(int j = 0 ; j < 4 ; ++j){for(int k = 0 ; k < 5 ; ++k)if(g[j][k] == '0'){step++;turn(j+1,k);}}bool has_sol = true;//判断该方案是否为解，第五行是否有0for(int j = 0 ; j < 5 ; ++j)if(g[4][j] == '0') has_sol = false;if(has_sol && step <= 6) res = min(res , step);memcpy(g,backup,sizeof backup);}if(res <= 6) cout << res << endl;else cout << "-1" << endl;}return 0;
}

递归实现组合型枚举

题目

算法解析

考虑一下组合型枚举和排列型枚举的区别

组合型枚举实际上是排列型枚举的一种特殊情况，在排列型枚举中(1,3,2)实际上是和(1,2,3)是完全不同的两个结果

但在组合型枚举中(1,3,2)和(1,2,3)是相同的，(1,3,2)和(3,2,1)也是相同的，只有当两个结果数组中有至少一个元素不同时才会记作答案

所以我们可以约定，组合型枚举的答案数组一定是单调递增的，即假设有3个元素1,2,3，那么我们只枚举(1,2,3)而不枚举(2,1,3)和(3,2,1)这两种不是单调递增的情况。这实际上完成了排列型枚举剪枝成组合型枚举

如何实现？

当我们枚举第u个元素时，从第u-1选择的元素+1开始枚举即可

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 25;
int path[N] , n , m;void dfs(int u)
{if(u > m) // 如果已经选了m个元素{for(int i = 1 ; i <= m ; ++i)cout << path[i] << " ";cout << endl;return;}for(int i = path[u-1] + 1 ; i <= n ; ++i){path[u] = i;dfs(u+1);}
}int main()
{cin >> n >> m;dfs(1); //从第1个位置开始考虑return 0;
}

带分数

题目

算法解析

简单来说，该题就是输入一个n，枚举出a、b、c三个数，使得a + b/c = n。具体要求如下：

a + b / c = n
b必须能整除c ，即b % c = 0
a、b、c中所有位数，必须包含1-9，这9个数

通过如上分析我们可以得出如下做法：

枚举全排列(排列型枚举) 1-9的数
枚举的全排列一定包含且只出现一次1-9的数
把全排列分成三段，枚举全排列中a、b、c的值
检查上述具体要求是否满足即可

时间复杂度：全排列的复杂度和枚举位数的复杂度：9! * 9 * 45 (尽管有些高，但经过测试还是能过得)

如下代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int path[N]; //全排列数组
bool st[N]; //判重数组，用于求全排列
int n;
int res; //结果bool check(int a , int b , int c)
{if(!a || !b || !c) return false; //题目要求不能出现0if(a + b / c == n && b % c == 0) return true; return false;
}void dfs(int u)
{if(u == 9){for(int i = 0 ; i < 9 ; ++i){for(int j = i + 1 ; j < 9 ; ++j){//[0,i) = a//[i,j) = b//[j,9) = cint a = 0 , b = 0 , c = 0;int k = 0;while(k < i){a = a * 10 + path[k];++k;}while(k < j){b = b * 10 + path[k];++k;}while(k < 9){c = c * 10 + path[k];++k;}if(check(a,b,c)) res ++; //判断a、b、c是否满足题目要求}}}for(int i = 1 ; i <= 9 ; ++i){if(!st[i]){path[u] = i;st[i] = true;dfs(u+1);st[i] = false;}}
}
int main()
{cin >> n;dfs(0);cout << res << endl;return 0;
}

飞行员兄弟

题目

算法解析

这题与费解的开关很类似，都是类似于是否按开关的问题，首先考虑他们两个的区别：

这题的按开关所产生的影响比费解的开关要大的多。在费解的开关中每一次按开关仅仅会影响上下左右四个格子，正因为这种性质，我们可以从1-n-1层开关的按法，唯一的确定第n层的按法。但这题按下开关后，一行一列都会受到影响，换句话来说对于第一层开关的状态不能将下一层唯一确定，因为它会受到下面所有层的按开关的影响
幸运的是这题的数据范围比较小，只有4x4的矩阵，且无多组测试用例，这也就意味着我们可以枚举所有的可能的方案，因为每一个开关只会存在是否按两种状态，枚举所有的按法，也就一定包含了正解

所以最终解法就是：枚举所有的按法，确定结果的按法。

注意：该题需要我们输出最小解，如果存在多个最小解则按照从上到下，从左到右的方案来输出

我们在枚举按法时，i是从0到2^16次方的，只需要遇到相同步数的解时不要更新结果，当遇到比当前解更小的解时才更新结果即可保证这个性质

时间复杂度：具体的真不好算了，粗略算成2^16 * 16吧，反正能擦边过

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 5;
char g[N][N] , backup[N][N];void turn(int x , int y)
{for(int i = 0 ; i < 4 ; ++i)if(g[x][i] == '+') g[x][i] = '-';else g[x][i] = '+';for(int i = 0 ; i < 4 ; ++i)if(g[i][y] == '+') g[i][y] = '-';else g[i][y] = '+';if(g[x][y] == '+') g[x][y] = '-';else g[x][y] = '+';
}int main()
{for(int i = 0 ; i < 4 ; ++i)scanf("%s",g[i]);memcpy(backup,g,sizeof g); //保存一下原始状态vector<PII> path; //结果路径int res = 1e9; //最小解//1.先枚举所有的按法for(int i = 0 ; i < 1 << 16 ; ++i){int step = 0;vector<PII> temp;for(int j = 0 ; j < 16 ; ++j){if(i >> j & 1) // 如果为1则表示按下开关，否则表示不按{turn(j / 4 , j % 4);step++;temp.push_back({j / 4 , j % 4});}}bool has_sol = true; //判断是否有解for(int j = 0 ; j < 4 ; ++j)for(int k = 0 ; k < 4 ; ++k)if(g[j][k] == '+') has_sol = false;if(has_sol && step < res) //如果有解，且比当前的最小解还小就更新一下{res = min(res , step);path = temp;}memcpy(g,backup,sizeof backup);//还原原始状态}cout << res << endl;for(int i = 0 ; i < path.size() ; ++i){//题目中下标是从1开始的所以需要+1cout << path[i].first + 1 << " " << path[i].second + 1<< endl;}return 0;
}

翻硬币

题目

算法解析

对于第一个字符串来说，它的第i个位置的状态仅由第i-1个位置和第i个位置决定

依次类推，第i-1个位置的状态仅由i-2位置和i-1位置决定，直到第0个位置，仅由第0个位置决定

那么第0个位置是不是要翻取决于它是否与目标字符串第0个位置相等，同理第1个位置是否要翻取决于遍历到第1个位置时它是否与目标字符串第1个位置相等

换句话来说，我们从前往后遍历第一个字符串，当第i个位置与目标字符串不符合时我们就翻一下硬币，最终如果有解那么一定会翻成跟目标字符串一样且是最小的解

代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;string src , dst;
void turn(int i)
{src[i] = (src[i] == '*' ? 'o' : '*');if(i+1 < src.size())src[i+1] = (src[i+1] == '*' ? 'o' : '*');
}
int main()
{cin >> src >> dst;int res = 0;for(int i = 0 ; i < src.size() ; ++i){if(src[i] != dst[i]){turn(i);res++;}}cout << res << endl;return 0;
}