【算法设计与分析】实验6：n皇后问题的回溯法设计与求解

一、实验目的

二、实验环境

三、实验内容

四、核心代码

五、记录与处理

六、思考与总结

七、完整报告和成果文件提取链接

一、实验目的

针对n皇后问题开展分析、建模、评价，算法设计与优化，并进行编码实践。

掌握回溯法求解问题的思想；针对n皇后问题，能够利用回溯算法进行问题分析、建模、算法设计及优化、及时间复杂度分析，并利用JAVA/C/C++语言开展编码实践，将算法转换为对应的程序上机运行。

二、实验环境

1、机房电脑 Window10

2、Eclipse /DEVC++等

三、实验内容

实验内容：n皇后问题。

实验要求：

1、实验报告中给出利用回溯法求解该问题分析、建模及评价，算法设计及优化策略等；

2、利用JAVA/C/C++等高级程序语言进行编码实现以及结果输出。

【回溯法原理】

回溯法是一种暴力搜索方法，它将问题的解表示为n元组(x1, x2, …, xn)的形式。其核心在于逐步构建一个解空间，过程中涉及选择、判断及必要的回退步骤，直至找到问题的解或确认无解。这种求解思路类似于逐步探索的过程，一旦当前路径不满足求解条件，便“回溯”以尝试其他路径。

解决一个问题的所有可能的决策序列就是解空间。

由于回溯法解决的问题较为冗杂，情况复杂，所以用回溯法搜索解空间时，通常采用两种策略避免无效搜索，提高回溯的搜索效率。

【回溯法分析n皇后问题】

1.首先确定问题状态：即棋盘的布局。

2.确定约束条件，构造剪枝函数的限制：当N*N的棋盘放N个皇后，存在的约束条件是：

(1)每行有且仅有一个皇后； x[i]=j

(2)每列有且仅有一个皇后；任意i,k行，(x[i]=j) ≠ (x[k]=l)

(3)任意两皇后不在一个斜线上。 |i-k|≠ |x[i]-x[k]| 即：|i-k|≠ |j-l|

如果将解空间的树的所有情况绘制出来，会发现该问题是一个完全n叉树。

由于在该算法中，每个皇后都要试探n列，一共n个皇后，其解空间是一棵子集树，这里每个结点可能有n棵子树，对应的算法时间复杂度为O( )。但由于回溯的剪枝效果，实际运行时间可能会比理论上限要好。

四、核心代码

// 判断是否可以在第k行放置一个皇后
int place(int k) {for (int j = 1; j < k; j++) {	//遍历之前已经放置的皇后if (abs(k - j) == abs(x[j] - x[k]) || x[j] == x[k]) {	//约束条件	return 0; }}return 1; // 返回true
}void backtrack(int n, int k) {x[k] = 0; 			//x[k]是当前列,也表示放置第k个皇后while (k >= 1) { 	//尚未回溯到头，循环x[k]++; 		//原位置后移动一列while (x[k] <= n && !place(k)) //试探一个位置(k,x[k])x[k]++;if (x[k] <= n) { 	//为第i个皇后找到了一个合适位置(k,x[k])if (k == n) { 	//若放置了所有皇后,输出一个解sum++;print_result(n);	} else {	 //如果皇后没有放置完k++; 		//转向下一行,即开始下一个新皇后的放置x[k] = 0; 	//每个新考虑的皇后初始位置置为0列}} else {k--; 		//若第i个皇后找不到合适的位置,则回溯到上一个皇后}}
}