2018年西部数学奥林匹克几何试题

2018·G1

在 $\triangle ABC$ 中, $O$ 为外心, $M$ 为边 $BC$ 的中点, 延长 $A B$ 交 $(A OM)$ 于点 $D$ , $(A OM)$ 交 $A C$ 于点 $E$ . 求证: $EC = D M$ .
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证明:

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设点 $G$ 为 $\triangle ABC$ 的共轭中线与 $(A BC)$ 的交点.

显然 $G$ 为 $\triangle GBC$ 的共轭中线.

所以 $\angle AOG=2(\angle ACB+\angle BCG)$ .

$\angle AMG=\angle ACB+\angle BCG+\angle MAC+\angle MGC=\angle ACB+\angle BCG+\angle BAG+\angle AGB=2(\angle ACB+\angle BCG)=\angle AOG$ .

所以 $A$ , $O$ , $M$ , $G$ 四点共圆.

$\angle EGC=\angle EGM+\angle MGC=\angle EAM+\angle AGB=\angle BCG+\angle ACB=\angle ECG$ , 所以 $EG = EC$ .

$\angle EAG=\angle BAM$ , 所以 $D M = EG = EC$ .

2018· G2

在 $\triangle ABC$ 中, $E$ , $F$ 分别在 $A B$ , $A C$ 上, 且 $BF + CE = BC$ . $I_B$ , $I_C$ 分别为 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 所对的旁心, $K$ 为弧 $B A C$ 的中点, $T$ 为 $EI_C$ 与 $FI_B$ 的交点, $P$ 为射线 $K T$ 与 $(A BC)$ 的交点. 求证: $T$ , $E$ , $P$ , $F$ 四点共圆.

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证明:

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设 $\triangle ABC$ 的内心为点 $I$ , $I$ 在 $A B$ , $A C$ 两边上的投影分别为点 $X$ , $Y$ . 设 $L$ 为 $E Y$ 的中点.

$XL/BX=\frac{XL}{XI}\frac{XI}{BX}=\cos\frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}$ .

$AY/AI_X=\frac{AY}{AI} \frac{AI}{AI_C}=\cos\frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}= XL/BX$ .

$\angle AXL=\angle I_BAY$ .

$\therefore \triangle XLB \sim \triangle AYI_C$ , $\angle AI_CY=\angle ABL$ .

类似地, 可以证明: $\angle AI_BX=\angle ACL$ .

$XF = Y E$ (证明略), 进而 $F I = Y I$ , $\angle FIE=\angle XIY$ .

设 $EF$ 交 $X Y$ 于点 $M$ .

易知 $\angle MFI=\angle MYI$ .

$\therefore X$ , $F$ , $I$ , $M$ 共圆.

$\angle FMI=\angle FXI=\frac{\pi}{2}$ .

则 $M$ 是 $EF$ 的中点.

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作 $(FMB)$ 和 $(EMC)$ , 设二者交于 $M$ , $P^{'}$ .

则 $\angle BP'C=\angle BP'M+\angle CP'M=\angle AFE+\angle AEF=\pi-\angle BAC$ .

$\therefore P'$ 在 $(A BC)$ 上.

$\angle FP'E=\angle FP'M+\angle EP'M=\angle FBM+\angle ECM=\angle AI_CE+\angle AI_BF=\pi-\angle FTE$ , 所以 $T$ , $F$ , $P^{'}$ , $F$ 共圆.

$\angle TP'B=\angle TP'C$ , 所以 $T P^{'}$ 经过 $K$ , 进而可知 $P^{'}$ 即为 $P$ .

证毕.

拓展:

求证:

(1) $AFI_B)$ , $BEI_C)$ , $(TEF)$ , $(A BC)$ 交于一点.

(2) 记 (1) 中四圆所共之点为 $A$ , $L$ , 则 $L F$ , $CM$ 交于 $(A BC)$ 上, $L E$ , $BM$ 交于 $(A BC)$ 上.

(3) 记 $AFI_B)$ , $BEI_C)$ 的外心分别为 $O_1$ , $O_2$ , 则 $O_1$ , $O_2$ , $O$ 共线, 且 $OO_1=OO_2$ .

证明:

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(1) 设 $F$ 关于 $B I$ 的对称点为 $F^{'}$ , 则 $F^{'}$ 在 $BC$ 上, 且 $F^{'}$ , $E$ 关于 $C I$ 对称.

设 $F F^{'}$ 交 $I_BC$ 于点 $S$ , 设 $AFI_B)$ 交 $(A BC)$ 于点 $L^{'}$ .

则易知 $\angle F'SC=\angle CII_B=\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\angle KAB$ .

所以 $S$ 在 $AFI_B)$ 上.

$\angle FSL'=\angle FAL'=\angle BCL'$ .

$F^{'}$ , $C$ , $S$ , $L^{'}$ 共圆.

$\angle F'L'C=\angle F'SC=\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\angle KL'C$ .

所以 $K$ , $F^{'}$ , $L^{'}$ 共线.

所以射线 $K F^{'}$ 与 $(A BC)$ 的交点在 $AFI_B)$ 上, 类似地, 可以证明 $K F^{'}$ 与 $(A BC)$ 的交点在 $AEI_C)$ 上.

显然 $\angle EL'F=\angle FI_BA+\angle EI_CA=\pi-\angle ETF$ .

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(2) 延长 $CM$ 交 $(A BC)$ 于 $X$ , 延长 $L F$ 交 $(A BC)$ 于 $X^{'}$ .

易知 $\angle XLA=\angle X'CA=\angle AI_CF$ . 所以 $L F$ , $CM$ 交于 $(A BC)$ 上. 可类似地证明 $L E$ , $BM$ 交于 $(A BC)$ 上.

(3) 显然 $AFI_B)$ , $BEI_C)$ , $(A BC)$ 共轴.

所以 $O_1$ , $O$ , $O_2$ 共线.

只需证明 $O_1A/O_2A=\sin \angle OAO_2/\sin \angle OAO_1$ .

$\angle OAO_2=\angle AOO_1-\angle AO_2O_1=(\angle ABC+\angle LBC)-(\angle LEC)=\angle ELC$ .

类似地, 可以证明 $\angle OAO_1=\angle FLB$ .

$\sin \angle OAO_2/\sin \angle OAO_1=\sin \angle ELC/\sin \angle FLB$

$O_1A/O_2A=\sin \angle AEL / \sin \angle AFL$ .

即证: $\sin \angle AEL / \sin \angle AFL=\sin \angle ELC/\sin \angle FLB \iff \sin \angle AEL / \sin \angle ELC=\sin \angle AFL/\sin \angle FLB \iff LC/CE=LB/BF$ .