标准化（Standardization）是将数据按比例缩放，使其具有特定的统计特征，通常是将数据的均值调整为0，标准差调整为1。标准化是一种常见的数据预处理技术，特别是在进行机器学习时，通常会使用标准化来确保各个特征（变量）的尺度一致，以避免某些特征对模型产生过大或过小的影响。

标准化的目标

通过标准化，数据的每个特征都会转换成零均值和单位方差的标准正态分布（或接近标准正态分布），使得所有特征的尺度一致，避免一些特征在模型训练中占主导地位。

标准化公式：

标准化是通过以下公式进行的：

[
z = \frac{x - \mu}{\sigma}
]

其中：

• ( x ) 是原始数据点，
• ( \mu ) 是该数据集的均值，
• ( \sigma ) 是该数据集的标准差，
• ( z ) 是标准化后的数据点。

步骤：

1. 计算均值（(\mu)）：数据集中的所有值的平均值。
2. 计算标准差（(\sigma)）：数据集的标准差，用来度量数据的分布范围。
3. 标准化：每个数据点减去均值，并除以标准差，从而将数据转换成标准正态分布。

示例：

假设我们有一个数据集：[ 10, 20, 30, 40, 50 ]

1. 计算均值：
   [
   \mu = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = 30
   ]

2. 计算标准差：
   [
   \sigma = \sqrt{\frac{(10 - 30)^2 + (20 - 30)^2 + (30 - 30)^2 + (40 - 30)^2 + (50 - 30)^2}{5}} = \sqrt{\frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5}} = \sqrt{200} \approx 14.14
   ]

3. 标准化每个数据点：

   • 对于10：
     [
     z = \frac{10 - 30}{14.14} = \frac{-20}{14.14} \approx -1.41
     ]
   • 对于20：
     [
     z = \frac{20 - 30}{14.14} = \frac{-10}{14.14} \approx -0.71
     ]
   • 对于30：
     [
     z = \frac{30 - 30}{14.14} = 0
     ]
   • 对于40：
     [
     z = \frac{40 - 30}{14.14} = \frac{10}{14.14} \approx 0.71
     ]
   • 对于50：
     [
     z = \frac{50 - 30}{14.14} = \frac{20}{14.14} \approx 1.41
     ]

标准化后的数据集为：[ -1.41, -0.71, 0, 0.71, 1.41 ]

为什么要进行标准化？

1. 尺度一致性：在机器学习中，如果不同特征的尺度差异较大，某些特征可能会对模型的训练产生过大的影响，特别是在基于距离的算法（如K近邻、支持向量机）中。标准化可以消除这种影响，使得每个特征对模型贡献的权重一致。

2. 梯度下降优化：在一些优化算法（如梯度下降）中，标准化后的数据能够加速收敛过程。若数据未经标准化，某些特征的梯度值可能会非常大，而某些特征的梯度值可能很小，导致收敛速度慢或优化过程不稳定。

3. 提高模型的准确性：某些模型（如逻辑回归、K-means聚类、PCA等）对数据的尺度敏感，标准化可以提高这些模型的性能。

标准化与归一化的区别：

• 标准化（Standardization）是将数据转换为均值为0、标准差为1的分布，适用于大部分机器学习模型。
• 归一化（Normalization）是将数据缩放到某个固定范围，通常是[0, 1]。归一化通常用于神经网络和一些需要特定数据范围的算法。

总结起来，标准化的主要作用是将数据的尺度统一，避免不同特征间因量纲不一致而带来的问题，并有助于提升许多机器学习算法的性能。