一、基本关系式

• 正弦、余弦、正切的定义：

  • $\sin \alpha =\frac{对边}{斜边}$
  • $\cos \alpha =\frac{邻边}{斜边}$
  • $\tan \alpha =\frac{对边}{邻边}$

• 同角三角函数的基本关系：

  • ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
  • ${\tan }^2\alpha +1={\sec }^2\alpha$
  • ${\cot }^2\alpha +1={\csc }^2\alpha$

二、和差角公式

• 正弦的和差角公式：

  • $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
  • $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

• 余弦的和差角公式：

  • $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
  • $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

• 正切的和差角公式：

  • $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
  • $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

三、倍角公式

• 正弦的倍角公式：

  • $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

• 余弦的倍角公式：

  • $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

• 正切的倍角公式：

  • $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

四、半角公式

• 正弦的半角公式：

  • $\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

• 余弦的半角公式：

  • $\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

• 正切的半角公式：

  • $\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$

五、海伦公式

对于已知三角形的三条边长 $ a $, $ b $, $ c $ 的情况，我们可以使用海伦公式（Heron’s formula）来计算三角形的面积。海伦公式如下：

• 海伦公式：

  • $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
  • 其中，$p$ 是三角形的半周长，即 $p=\frac{a+b+c}{2}$

使用海伦公式的前提是这三条边可以构成一个三角形，即满足三角不等式：

1. $a+b>c$
2. $a+c>b$
3. $b+c>a$
   如果这三条边满足三角不等式，那么就可以使用海伦公式来计算三角形的面积。如果不满足三角不等式，那么这三条边不能构成一个三角形，因此没有面积可言。

六、正弦定理

定义

正弦定理指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。用数学表达式表示即为：

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

其中，$a$、$b$、$c$ 分别为三角形ABC的三边，$A$、$B$、$C$ 分别为对应的角，$R$ 为外接圆的半径。这个公式也可以表示为：

$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$

正弦定理建立了三角形的边长与其对应角的正弦值之间的关系，是解决三角形问题的重要工具。通过正弦定理，我们可以方便地求解三角形的未知边长或角度。

应用

正弦定理在解决三角形问题中有多种应用，例如：

1. 已知两边及夹角求第三边：

   如果已知三角形的两边 $a$ 和 $b$，以及它们之间的夹角 $A$，可以通过正弦定理求出第三边 $c$：

   $c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{b\sin C}{\sin B}$

   其中，$\sin C$ 可以通过 $\sin (180°-A-B)=\sin (A+B)$ 来计算。

2. 已知两角及一边求其他边和角：

   如果已知三角形的两角 $A$ 和 $B$，以及它们所夹的一边 $c$，可以通过正弦定理求出其他两边 $a$ 和 $b$，以及另一个角 $C$：

   $a=\frac{c\sin A}{\sin C}$

   $b=\frac{c\sin B}{\sin C}$

   $C=180°-A-B$

3. 判断三角形的形状：

   正弦定理还可以用于判断三角形的形状。例如，如果 $\sin A=\sin B$，则 $a=b$，说明三角形是等腰三角形。

证明

正弦定理的证明方法有多种，包括利用三角形的高、三角形的面积、向量法以及外接圆等。其中，利用外接圆证明正弦定理是一种比较直观和常用的方法。具体来说，可以在三角形中作出其外接圆，并连接圆心与三角形的一个顶点，然后利用圆周角定理和正弦函数的性质进行推导，最终得出正弦定理的表达式。

七、余弦定理

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值之间关系的数学定理。

7.1 定义

在任意三角形ABC中，若a、b、c分别为角A、B、C的对边，则有：

• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
• $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

这三个公式共同构成了余弦定理的完整表达。其中，$\cos A$、$\cos B$、$\cos C$分别表示三角形A、B、C角的余弦值。

几何意义

余弦定理揭示了三角形中任意一边的平方与其他两边平方及其夹角余弦值之间的关系。它表明，在三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。余弦定理可以看作是勾股定理的推广形式。

7.2 应用

余弦定理在解决三角形问题中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：

1. 已知两边及夹角求第三边：

   • 如果已知三角形的两边长度和它们之间的夹角，可以利用余弦定理求出第三边的长度。

2. 已知三边求角：

   • 如果已知三角形的三边长度，可以利用余弦定理求出各个角的余弦值，进而求出各个角的度数。

3. 判定三角形的形状：

   • 通过余弦定理，可以判断三角形的形状。例如，若 $a^2+b^2=c^2$，则角C为直角，三角形ABC为直角三角形。

4. 其他应用：

   • 在力学领域，当物体受到多个力的共同作用时，可以利用余弦定理来计算这些力的合力大小和方向。
   • 在波动和振动领域，余弦定理可以用于计算波的叠加和干涉现象。

7.3 证明

余弦定理的证明方法有多种，包括利用勾股定理、平面向量等。以下是利用平面向量进行证明的一种常见方法：

• 在三角形ABC中，选取向量AB和AC，它们的模长分别为c和b，夹角为A。根据向量的数量积定义，有 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos A=bc\cos A$。
• 然后，计算向量 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ 的模长的平方，即 $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}{)}^2={\overrightarrow{AB}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2=c^2+2bc\cos A+b^2$。
• 另一方面，向量 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ 实际上就是从A点到C点的向量，即 $\overrightarrow{AC}$，所以 $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}{)}^2$ 的模长平方也就是 $\overrightarrow{AC}$ 的模长平方，即 $a^2$。
• 因此，得到 $a^2=c^2+b^2-2bc\cos A$，这就是余弦定理的一个表达式。同理，可以得到其他两个表达式。

余弦定理在向量代数中的推广，实际上体现了向量代数与几何之间的深刻联系，以及余弦定理在更广泛数学领域中的应用。以下是对这一推广的详细介绍：

7.4 余弦定理在向量代数中的表现形式

在向量代数中余弦定理有更为紧凑的表现形式，并且因此具有更广的通用性。

向量代数中余弦定理的表达式为：
$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$$
其中，$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是两个向量，$\theta$ 是它们之间的夹角，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 是两个向量的点积，而 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$ 分别是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模（长度）。
这个定理可以用来计算向量之间的夹角，或者当已知两个向量和它们之间的夹角时，计算第三个向量的模。在三维空间中，余弦定理也可以推广到计算三个向量之间的夹角。

八、其他

• 三角形的内角和定理：

  • 三角形的三个内角之和等于180°。

• 角平分线定理：

  • 在三角形中，角的平分线将一个角分为两个相等的角，并且这个角的平分线将对边分为两段，这两段与角的两边成比例。

• 中线长定理：

  • 三角形的三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心。重心将中线分为2:1的两部分。

这些公式和定理在三角学中占有重要地位，它们在解决三角形问题、计算三角函数值、推导三角恒等式等方面都有广泛的应用。