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博客主页： [小ᶻ☡꙳ᵃⁱᵍᶜ꙳] 本文专栏: C++

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💯前言

• C++是一门学习成本不高，但深度极大的编程语言，特别适合用于计算机解题和合理化计算程序。在本文中，我不仅对题目 P1428 小鱼比可爱进行详细分析，还将给出全面优化和提升思路，并提供一些解题的扩展思考。此文标题全展，起首展示题目和算法，中段分析并比较不同解法，最后给出一些高效解法应用和态度深选。希望通过本文，让读者不仅能思考优化思路，还能展开观念，学习极致算法应用。
  C++ 参考手册
  

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💯题目说明

P1428 小鱼比可爱

在此题目中，小鱼参加一场“比可爱”比赛。比赛的规则如下：每只小鱼的可爱度以一个整数表示，在自己的视野里，计算自己左边有几只鱼的可爱度比自己低。

题目输入格式

1. 第一行：一个正整数 n，表示小鱼的数量（最多为 100 只）。
2. 第二行：一个长度为 n 的正整数列表，为小鱼的可爱度，用空格分隔。

题目输出格式

一行：一个长度为 n 的正整数列表，用空格分隔，表示每只小鱼左边比它可爱度低的鱼的数量。

样例

输入样例

6
4 3 0 5 1 2

输出样例

0 0 0 3 1 2

题目解析

题目要求每只小鱼，计算左边有几只鱼的可爱度比它低。

样例解析如下：

• 第 1 只小鱼：没有左边的鱼，因此输出 0。
• 第 2 只小鱼：左边为 [4] ，没有可爱度比 3 小的，因此输出 0。
• 第 3 只小鱼：左边为 [4, 3] ，没有可爱度比 0 小的，因此输出 0。
• 第 4 只小鱼：左边为 [4, 3, 0] ，有 3 只鱼可爱度比 5 小，因此输出 3。
• 第 5 只小鱼：左边为 [4, 3, 0, 5] ，有 1 只鱼可爱度比 1 小，因此输出 1。
• 第 6 只小鱼：左边为 [4, 3, 0, 5, 1] ，有 2 只鱼可爱度比 2 小，因此输出 2。

上述每个步骤通过一次简单遍历即可解决，但解决总时间复杂度为 $n^2$。

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💯解法分析

我的做法

代码

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 100;
int arr[N];int main()
{int n = 0;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> arr[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){int count = 0;for(int j = i - 1; j >= 1; j--){if(arr[j] < arr[i])count++;}cout << count << " ";}return 0;
}

解法说明

1. 输入：

   • 通过 cin 输入小鱼数量和可爱度。
   • 将可爱度保存在数组 arr 中，使用 1-based 下标（从 1 开始）。

2. 结构解析：

   • 外层循环从第 1 只小鱼起，按顺序遍历所有小鱼。
   • 内层循环倒序测量所有左侧鱼，如果比当前小鱼可爱度小，则计数。

3. 输出：

   • 每个小鱼结果通过 cout 输出，用空格分隔。

时间复杂度

• 外层循环：运行 n 次。
• 内层循环：对每只小鱼，从左到右最多运行 i-1 次。
• 总时间复杂度：$n^2$。

该代码简单直接，能有效解决题目要求，但时间复杂度较高，当小鱼数量较大时效率会较低。

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老师的做法

代码

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 110;
int arr[N];int main()
{int n = 0;cin >> n;// 输入数据for (int i = 0; i < n; i++){cin >> arr[i];}// 统计for (int i = 0; i < n; i++){int count = 0;for (int j = 0; j < i; j++){if (arr[j] < arr[i]){count++;}}cout << count << " ";}return 0;
}

解法说明

1. 输入部分：

   • 使用 0-based 数组（从 0 开始），方便与 C++ 数组操作习惯保持一致。
   • 用一个 for 循环输入小鱼可爱度。

2. 统计部分：

   • 外层循环遍历每只小鱼，内层循环遍历当前小鱼左侧的所有小鱼。
   • 内层通过条件判断 arr[j] < arr[i]，统计左侧比当前小鱼可爱度低的数量。

3. 输出部分：

   • 每次外层循环完成后，输出当前小鱼的统计结果。

总结

• 老师的代码与之前代码的逻辑基本一致，但采用了 0-based 数组下标，符合 C++ 常规习惯，代码风格稍微简洁一些。

时间复杂度

• 同样是 $n^2$，适合小规模问题解答。

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💯解法优化

使用树状数组优化

为了优化时间复杂度，可以使用**树状数组（Fenwick Tree）**统计比当前小鱼可爱度低的数量，将时间复杂度降为 $nlog(maxA)$，其中 maxA 为可爱度的最大值。

核心思路

1. 构建树状数组：

   • 树状数组用于动态维护每种可爱度的频率。
   • 初始状态下，所有频率为 0。

2. 遍历小鱼并更新：

   • 对于每只小鱼，查询树状数组中比当前小鱼可爱度低的数量，即为结果。
   • 然后更新当前小鱼的可爱度频率。

实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;const int MAX_A = 11; // 最大可爱度是10int fenwick[MAX_A] = {0};// 更新树状数组
void update(int index, int value) {while (index < MAX_A) {fenwick[index] += value;index += index & -index;}
}// 查询前缀和
int query(int index) {int sum = 0;while (index > 0) {sum += fenwick[index];index -= index & -index;}return sum;
}int main() {int n;cin >> n;vector<int> arr(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> arr[i];}for (int i = 0; i < n; i++) {// 查询当前小鱼左边比它小的数量cout << query(arr[i]) << " ";// 更新当前小鱼的可爱度update(arr[i] + 1, 1);}return 0;
}

时间复杂度分析

• 树状数组更新和查询：每次操作时间复杂度为 $log(maxA)$。
• 总复杂度：$nlog(maxA)$。

优化总结

树状数组的解法大幅提高了效率，适合数据规模较大的场景，特别是在在线查询和更新问题中应用广泛。

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💯小结

本文通过题目 P1428 小鱼比可爱，详细分析了两种基础解法并进行了对比，总结了其时间复杂度和代码风格差异。随后，本文给出了树状数组的优化方案，将时间复杂度从 $n^2$ 优化为 $nlog(maxA)$。

该题的核心在于对比和统计，通过基础暴力解法理解问题本质，而通过树状数组等数据结构优化则展示了解题的高效化路径。希望读者能够从中获得启发，学会选择适合的算法解决不同规模的问题。

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