网安数学基础期末复习

目录

  • 整除
  • 同余
  • 同余方程
  • 群和环

整除

  • a的显然因数/平凡因数±1,±a
  • 整除的传递性和组合性
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  • a ∣ b , b ∣ a a|b,b|a ab,ba a = ± b a=\pm b a=±b
  • 欧几里得带余除法
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  • 公因数和最大公因数在整除里的定义,最大公因数为1则两数互质,注意公因数有正负,任何公因数都整除最大公因数
  • 辗转相除法的原理:在这里插入图片描述
  • 相关的推论:
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  • 扩展欧几里得算法求公因数的过程在这里插入图片描述
    代码实现:
#扩展欧几里得算法ax+by=gcd(a,b),该函数可求gcd(a,b),x,y
def extend_gcd(a,b):if b==0:return (a,1,0)else:g,x,y=extend_gcd(b,a%b)return (g,y,x-(a//b)*y)
  • 该式的逆命题不一定成立,即存在ax+by=d,但d不一定是最大公因数
  • 三个推论及证明(体会这个式子在证明中的应用)
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  • 素数和算数基本定理
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  • 证明素数有无限多个的思路:反证法假设素数有有限多个分别是 p 1 , p 2 . . . p n p_1,p_2...p_n p1,p2...pn,设 n = p 1 ∗ p 2 ∗ . . . p n + 1 n=p_1*p_2*...p_n+1 n=p1p2...pn+1,由算数基本定理,可以确定n一定有一个素因子p,因为n加了1,显然p的倍数不可能是1,所以p不属于 p 1 . . . p n p_1...p_n p1...pn中的任何p,所以素数有无限多个
  • 证明形如4k-1的素数有无限多个:
    1. 证明形如4k-1的数一定含有4k-1的因子
    2. 反证法推出矛盾
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      简单推理就能得到 ( 4 k + 1 ) ∗ ( 4 k + 1 ) (4k+1)*(4k+1) 4k+14k+1得到数的形式还是(4k+1)
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  • 厄拉托赛师法筛选素数:在这里插入图片描述在这里插入图片描述
  • 梅森素数:形如 2 n − 1 2^n-1 2n1的数
  • fermat素数:形如 2 2 n + 1 2^{2^n}+1 22n+1的数
  • 整数的进制表示和高精度运算:略作了解即可

同余

  • a ≡ b ( m o d c ) a \equiv b \pmod{c} ab(modc)
  • 同余方程写成整除的形式:
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  • 同余式可逐项加减乘在这里插入图片描述
  • 相关定理
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  • 同余类/剩余类:模m的值相同组成的集合,共有m个,剩余类中的元素叫剩余或代表元,m个互不相同的代表元组成完全剩余系, 0 , 1 , 2 , . . m − 1 0,1,2,..m-1 0,1,2,..m1组成的剩余系叫最小非负完全剩余系,记作 Z m Z_m Zm在这里插入图片描述
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  • 欧拉函数的计算:
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  • 欧拉定理:
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    费马小定理(注意和欧拉定理的区别):在这里插入图片描述
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  • 固然可以用欧拉函数求满足条件的值,但是阶的值可能是欧拉函数的因子(即比欧拉函数更小在这里插入图片描述
  • 模重复平方算法:简单理解就是快速冥算法再加个取模操作在这里插入图片描述
  • 素性检测:利用以下引理,那么当二次同余方程有其他解时,则说明p不是素数
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    费马小定理进行素性检测
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同余方程

  • 同余方程的解数:满足条件的同余类的个数
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  • 一次同余方程的求解过程:先找 a x = 1 ( m o d m ) ax=1 \pmod{m} ax=1(modm)的唯一解 x 0 x_0 x0,接着回到原来的同余方程 a x = b ( m o d m ) ax=b \pmod{m} ax=b(modm),系数变换 x = x 0 ∗ b x=x_0*b x=x0b得到这个方程的特解,得到特解后求通解
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  • 中国剩余定理CRT:在这里插入图片描述
  • 中国剩余定理手算求解
  • 在这里插入图片描述
    二次剩余和二次非剩余(区别于二次方程有解还是无解):
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  • 怎么找二次剩余和二次非剩余?令x是从1到10的所有数,求出的a就是二次剩余,剩下的数是二次非剩余哟西
    剩余和非剩余各占简化剩余系的一半
    剩余和非剩余各占简化剩余系的一半,进而得出求二次剩余的新方法:求出序列的所有同余解
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  • 欧拉判别法判定一个数是二次剩余还是二次非剩余
  • 前提:a,p 互素
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  • 三个组合的推论,本质是判断二次剩余的方程
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    但是这样判断二次剩余计算还是过于麻烦->引入勒让德符号
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  • 能用勒让德符号的公式一定可以用欧拉判别法推,这些公式很重要,熟悉掌握是后续做题推理的关键
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  • 应用:判断同余方程是否有解
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  • 当m不是质数时,用CRT拆成同余方程组,但是这样求解还是麻烦,于是引入雅可比符号
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  • 区别:不同于勒让德符号,当雅可比符号等于1时,二次方程未必有解,但是当值为-1时,方程一定无解,雅可比符号的其他性质与勒让德符号一模一样
  • 怎么求同余方程的解?在这里插入图片描述
    更一般的求法:直接计算 a ( p + 1 ) / 4 m o d p {a^{(p+1)/4 }\mod p} a(p+1)/4modp
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  • Rabin公钥加密算法:基于大整数分解的复杂性
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群和环

  • 二元运算需要满足的三个条件,注意区分定义在什么集合上的什么运算在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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  • 群的定义:满足代数运算和三个性质的特殊集合,怎么判断一个集合是不是群,就看是否满足这三个条件在这里插入图片描述
  • 群的基本性质:单位元和逆元唯一,满足消去律,逆满足线性运算原则
  • 交换群/阿贝尔群:满足交换律的群在这里插入图片描述
  • 有限群和无限群:看群中元素个数是否有限
  • 最小简化剩余系满足乘群,不满足加群在这里插入图片描述
  • 子群:子集合同样满足群中运算在这里插入图片描述
  • 循环群:在这里插入图片描述
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