对于一个机器人的手腕，一般要求实现对空间坐标轴X、Y、Z的旋转运动，分别是翻/回转（Roll）、俯仰（Pitch）、偏转（Yaw）。如下图，绕X轴旋转称为偏转，绕Y轴旋转成为俯仰，绕Z轴称为翻/回转。

1.自由度（DOF）

对于一个刚体的自由度，一般分为两种情况，一种是平面上的刚体，另一种是空间中的刚体。
对于平面中的刚体，有3个自由度，分别代表着2个位置，1个角度。例子：坐标轴上的硬币。

如图，对于坐标系中的硬币，它可以沿着x轴和y轴的方向移动，也可以自身旋转（即硬币上人物的目光方向）。
对于空间中的物体，有6个自由度，分别代表着3个位置，3个角度。

可以理解为在空间中观察飞机，三个位置分别表示距离以观察位置为空间坐标系的x,y,z轴的距离。对于角度，分别是飞机绕如下图所示的三个轴旋转，也可理解为飞机的俯仰角（上下点头）、滚转角（左右摆头）、偏航角（左右摇头）。

故对于刚体的自由度，一般有：

$$DOF=\{\begin{array}{ll}3,& 平面上；\\ 6,& 空间中；\end{array}$$

2.自由度的计算

首先我们假设一个刚体的自由度为s，那么n个刚体就是就是$s\times n$。

对于一个机械臂，我们假设他有n的links（包括基底），那么由于基底与地面相连，他的自由度为0，所以在我们未引入joint时，此时机械臂的自由度为$s\times (n-1)$。

此时，我们引入p个joint（假设如图所示的第i个joint引入的约束为$c_i$），那么有：

$$dof=s\times (n-1)-\sum _{i=1}^p{c}_i$$
我们假设第i个joint的相对dof为$n_i$，那么存在$s=n_i+c_i$,所以又有：
$$\begin{gathered} dof=s\times (n-1)-\sum _{i=1}^{p}s-n_i \\ =s\times (n-1-p)+\sum _{i=1}^p{n}_i \end{gathered}$$

s：总的自由度，平面n=3，空间n=6
n：刚体连杆的数量
p：关节的数量
$c_i$：关节i引入的约束数
$n_i$：关节i相对的DOF

3.自由度计算例题

例1.

对于以上结构，是在二维平面中，即$s=3$。
又该结构包括四个links（包括地面，且两处地面看作同一个link），$n=4$.
有4个joint，即$p=4$。每个joint都只有一个自由度，$n_i=1$.

故：
$$\begin{gathered} dof=s\times (n-1-p)+\sum _{i=1}^p{n}_i \\ =3\times (4-1-4)+4\times 1=1 \end{gathered}$$

例2.

同理：
$$\begin{gathered} dof=s\times (n-1-p)+\sum _{i=1}^p{n}_i \\ =3\times (5-1-4)+4\times 1=4 \end{gathered}$$

例3.

同理：
$$\begin{gathered} dof=s\times (n-1-p)+\sum _{i=1}^p{n}_i \\ =3\times (6-1-7)+7\times 1=1 \end{gathered}$$