向量叉积浅讲

线段交叉

前提条件有三个点o,a,b,如何判断b在线段oa何方向,可以使用叉积;

1、向量的叉积公式

假设
-点o的坐标是 ( o x , o y ) (o_x, o_y) (ox,oy)
-点a的坐标是 ( a x , a y ) (a_x, a_y) (ax,ay)
-点b的坐标是 ( b x , b y ) (b_x, b_y) (bx,by)

o出发的两个向量分别为:
1、oa = ( a x − 0 x , a y − o y ) (a_x - 0_x,a_y - o_y) (ax0x,ayoy)
2、ob = ( b x − 0 x , b y − o y ) (b_x - 0_x,b_y - o_y) (bx0x,byoy)

这两个向量的叉积定义为:
oa X ob = ( a x − o x ) (a_x - o_x) (axox) * ( b y − o y ) (b_y - o_y) (byoy) - ( a y − o y ) (a_y - o_y) (ayoy) * ( b x − o x ) (b_x - o_x) (bxox)

函数实现:
函数的具体代码就是直接实现了这个公式:

function cross(o, a, b) {return (a[0] - o[0]) * (b[1] - o[1]) - (a[1] - o[1]) * (b[0] - o[0]);
};
  • (a[0] - o[0]) 和 (a[1] - o[1]) 分别是向量oa的x和y分量
  • (b[0] - o[0]) 和 (b[1] - o[1]) 分别是向量ob的x和y分量

2、叉积的几何意义

叉积的结果是一个标量,其几何意义为:

1、大小 :表示oa和ob为边的平行四边形的有向面积;
2、正负号:表示向量的相对方向;

  • cross(0,a,b)>0:ob在oa的逆时针方向(点b在oa的左侧)
  • cross(0,a,b)<0:ob在oa的顺时针方向(点b在oa的右侧)
  • cross(0,a,b)=0:ob和oa共线(点 o、a 和 b 在一条直线上)

图示:
假设o、a、b 的位置如下:

   b\\  (逆时针方向)o---------a

此时cross(0,a,b)>0

若点b在oa的右侧

      a//  (顺时针方向)o---------b

此时cross(0,a,b)>0

3、函数的应用场景

  1. 判断点的相对位置
  • 可以判断点 a 和点 b 相对于点 o 的相对位置(左侧、右侧或共线)。

  • 应用于几何算法,比如:

    • 凸包算法:判断某点是否在凸包边界的左侧或右侧。
    • 线段相交检测:判断两线段是否相交。
  1. 计算面积

如果 o 是坐标原点,a 和 b 是平面上的两点,叉积结果的绝对值等于三角形 OAB 的两倍面积:

面积 = 1 2 ∣ o a × o b ∣ \text{面积} = \frac{1}{2} \lvert \mathbf{oa} \times \mathbf{ob} \rvert 面积=21oa×ob

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