1.什么是前缀和
前缀和算法（Prefix Sum Algorithm） 是一种常用的算法技巧，用于快速计算数组的某些子数组的和。它通过提前计算出数组中元素的累加和，来加速后续的区间和查询，特别适用于需要频繁查询子数组和的场景。
前缀和的基本思想
给定一个数组 A，前缀和数组 S 是通过将 A 中的每个元素累加得到的数组，具体来说，S[i] 存储的是 A[0] 到 A[i] 的和。
-
前缀和数组的定义：
S[i] = A[0] + A[1] + ... + A[i] -
用前缀和数组来求区间和： 通过前缀和数组，我们可以非常快速地求出任意区间
[L, R]的和，公式为：sum(L, R) = S[R] - S[L-1]其中
S[R]是从A[0]到A[R]的累加和，S[L-1]是从A[0]到A[L-1]的累加和，所以S[R] - S[L-1]就是A[L]到A[R]的区间和。
具体步骤
-
构建前缀和数组：
- 初始化前缀和数组
S，其中S[0] = A[0]。 - 对于
i > 0，有：S[i] = S[i-1] + A[i]。
- 初始化前缀和数组
-
查询区间和：
- 对于任意区间
[L, R]，通过公式sum(L, R) = S[R] - S[L-1]计算区间和。
- 对于任意区间
优点
- 查询效率高：使用前缀和数组，区间和查询的时间复杂度为 O(1)，即常数时间。这使得处理大量区间和查询时非常高效。
- 预处理时间：构建前缀和数组的时间复杂度为 O(n)，其中
n是数组的长度。
缺点
- 空间复杂度：需要额外的空间来存储前缀和数组，空间复杂度为 O(n)。
- 适用场景：前缀和算法主要适用于静态数组或不经常更新的数组。如果数组频繁更新，前缀和算法的效率将受到影响，因为每次更新可能需要重新计算前缀和数组。
基本应用场景
- 区间和查询：当你需要频繁查询一个数组的区间和时，前缀和算法是一个非常高效的解决方案。
- 区间最小值/最大值查询：虽然前缀和主要用于求和，但其思想也可以扩展到其他的区间查询问题，如查询区间的最大值或最小值。
- 二维数组问题：前缀和不仅适用于一维数组，也可以扩展到二维数组（矩阵），用于快速计算矩阵中任意子矩阵的和。
2.前缀和练习
2.1 一维前缀和(模版)
示例：
输入：
3 2 1 2 4 1 2 2 3
输出：
3 6
这个题就是典型的求区间和
代码展示+算法思路
注意：题目l是大于等于1的，所以我们输入的数组是从1开始输入。
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>
int main() {int n,q;cin>>n>>q;vector<int> arr(n+1);for(int i=1;i<=n;i++)cin>>arr[i];vector<long long> sum(n+1);for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+arr[i];for(int j=0;j<q;j++){int l=0,r=0;cin>>l>>r;cout<<sum[r]-sum[l-1]<<endl;}return 0;
}sum 数组是前缀和数组，sum[i] 存储的是从 arr[1] 到 arr[i] 的元素之和。
- 初始时，
sum中的元素被设置为0 - 然后通过循环逐个计算前缀和：
sum[i] = sum[i - 1] + arr[i]，也就是每个位置的前缀和是前一个位置的前缀和加上当前元素。
[l, r]，通过前缀和公式 sum[r] - sum[l-1] 来求得区间和。这样，单次查询的时间复杂度为 O(1)。
O(n + q)，其中 n 是数组的大小， q 是查询的数量。
2.2 二维前缀和典型模版
算法思路分析
填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能大胆使用 i - 1 , j - 1 位置的值。 注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系： i. 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减一； ii. 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加一。
使用前缀和矩阵
[x1,y1]----[x2,y2]的和
代码展示
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {int n,m,q;int arr[1010][1010];long long dp[1010][1010];cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++)cin>>arr[i][j];}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++)dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1];}int x1,y1,x2,y2;while(q--){cin>>x1>>y1>>x2>>y2;cout<<dp[x2][y2]-dp[x2][y1-1]-dp[x1-1][y2]+dp[x1-1][y1-1]<<endl;}
}还是采用的c语言形式定义二维数组比较简便，因为题目给出了行列的数据范围，所以我们直接定义1010为数组行列的个数，初始化都为0 ，不影响加的结果，当然后续遍历也不会用到多余的0数据。
2.3 寻找数组的中心下标
724. 寻找数组的中心下标 - 力扣（LeetCode）
通过读取题意就是求i前后区间的和判断是否相等，返回i即可。
class Solution {
public:int pivotIndex(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<int> v1(n),v2(n);for(int i=1;i<n;i++)v1[i]=v1[i-1]+nums[i-1];for(int i=n-2;i>=0;i--)v2[i]=v2[i+1]+nums[i+1];for(int i=0;i<n;i++){if(v1[i]==v2[i])return i;}return -1;}
};2.4 除自身以外数组的乘积
238. 除自身以外数组的乘积 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {vector<int >v;int n=nums.size();vector<int>v1(n,1);vector<int>v2(n,1);for(int i=1;i<n;i++)v1[i]=v1[i-1]*nums[i-1];for(int i=n-2;i>=0;i--)v2[i]=v2[i+1]*nums[i+1];for(int i=0;i<n;i++)v.push_back(v1[i]*v2[i]);return v;}
};本题其实和上一道题思路很相似，将前后前缀和换成了前后前缀积
2.5 和为K的子数组
560. 和为 K 的子数组 - 力扣（LeetCode）
暴力枚举i区间内所有的子数组
class Solution {
public:int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {int count = 0;for (int start = 0; start < nums.size(); ++start) {int sum = 0;for (int end = start; end >= 0; --end) {sum += nums[end];if (sum == k) {count++;}}}return count;}
};但是会重复计算很多次相同数字的和 ，简单优化求出所有前缀和存放在数组中，在暴力枚举所有区间，统计等于k的个数。
class Solution {
public:int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {int n=nums.size();vector<int>v(n+1);for(int i=1;i<=n;i++){v[i]=v[i-1]+nums[i-1];}int count=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<i;j++)if(v[i]-v[j]==k)count++;}return count;}
};哈希+前缀和，将前缀和存在哈希表中。
class Solution {
public:int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int,int> hash;hash[0]=1;int sum=0;int ret=0;for(auto e: nums ){sum+=e;if(hash.count(sum-k))ret+=hash[sum-k];hash[sum]++;}return ret;}
};结束语
本节内容就到此结束了，前缀和的题目还有很多，后续有时间也会继续更新前缀和的相关题目分享，也欢迎友友一起讨论。
最后，感谢各位友友的支持！！！
