电机瞬态分析基础（7）：坐标变换（3）αβ0变换，dq0变换

1. 三相静止坐标系与两相静止坐标系的坐标变换―αβ0坐标变换

若上述x、y坐标系在空间静止不动，且x轴与A轴重合，即 $\theta =0$ ，如图1所示，则为两相静止坐标系，常称为 $\alpha \beta$ 坐标系，考虑到零轴分量，也称为αβ0坐标系。

图1. ABC坐标系与 $\alpha \beta$ 坐标系

从三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换称为三相-两相变换，简称3/2变换。由下式，

$\left[ \begin{array}{c} i_A \\ i_B \\ i_C \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & 1 \\ \cos(\theta - 120^\circ) & -\sin(\theta - 120^\circ) & 1 \\ \cos(\theta + 120^\circ) & -\sin(\theta + 120^\circ) & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_x \\ i_y \\ i_0 \end{array} \right] = \mathbf{C}_{2r/3s} \left[ \begin{array}{c} i_x \\ i_y \\ i_0 \end{array} \right]$

令 $\theta =0$ 可得

$\left[ \begin{array}{c} i_a \\ i_\beta \\ i_0 \end{array} \right] = \frac{2}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_A \\ i_B \\ i_C \end{array} \right]$ (1)

令 $C_{3/2}$ 表示从三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换矩阵，则

$\mathbf{C}_{3/2} = \frac{2}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right]$ (2)

相应地，从两相坐标系到三相坐标系的变换矩阵为

$\mathbf{C}_{2/3} = \mathbf{C}_{3/2}^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{array} \right]$ (3)

式（2）和式（3）不满足功率不变约束。由上一节式（9），令 $\theta =0$ 可得满足功率不变约束的从三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换矩阵

$\mathbf{C}_{3/2} = \sqrt{\frac{2}{3}} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right]$ （4）

相应地，从两相坐标系到三相坐标系满足功率不变约束的变换矩阵为

$\mathbf{C}_{2/3} = \mathbf{C}_{3/2}^{-1} = \mathbf{C}_{3/2}^T = \sqrt{\frac{2}{3}} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right]$ （5）

在实际应用中，上述坐标变换关系常可进一步简化。例如，在交流调速系统中，交流电机通常为中性点隔离的三相星型连接（Y接），有 $i_{A}+i_{B}+i_{C}=0$ ，则 $i_{0}=0$ ，因此可将零轴分量去掉。同时，由于三相电流中只有两相独立，三相系统中的电流可以只用 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 表达，而将C相电流用 $i_{C}=-(i_{A}+i_{B})$ 代入。相应的坐标变换关系简化为

$\left[ \begin{array}{c} i_\alpha \\ i_\beta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_A \\ i_B \end{array} \right] \text{or} \left[ \begin{array}{c} i_\alpha \\ i_\beta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \sqrt{\frac{2}{3}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_A \\ i_B \end{array} \right]$ (6)

以及

$\left[ \begin{array}{c} i_A \\ i_B \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_\alpha \\ i_\beta \end{array} \right] \text{or} \left[ \begin{array}{c} i_\alpha \\ i_\beta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \sqrt{\frac{2}{3}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_A \\ i_B \end{array} \right]$ （7）

可见，三相/两相变换（3/2变换）是任意速xy0坐标系当其转速等于零时的特例。3/2变换是静止坐标系之间的变换，因此其变换矩阵中所有元素均与坐标旋转角 $\theta$ 无关，都是常数。

隐极三相交流电机的定子和转子的电感矩阵，经过 $\alpha \beta 0$ 变换将成为对角矩阵。因为，从三相变为两相系统后，由于 $\alpha$ 轴和 $\beta$ 轴在空间互相垂直，互感为零，而零序又是一个孤立的系统，所以

$\alpha$ 、 $\beta$ 、0三根轴线之间达到“解耦”。这一点，以后在感应电机的分折中将会用到。

2. 三相静止坐标系与两相转子速旋转坐标系的坐标变换―dq0坐标变换

图2. $dq0$ 坐标变换

$dq0$ 坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。若转子为凸极，则 $d$ 轴(直轴)通常与凸极的中心轴线重合， $q$ 轴(交轴)超前于 $d$ 轴90“电角，如图2所示。 $dq0$ 变换是从静止的ABC坐标系变换到转子速旋转的 $dq0$ 坐标系的一种变换。 $dq0$ 分量首先由帕克(Park)提出．所以亦称为帕克分量。显然， $dq0$ 坐标变换的变换矩阵在形式上与 $xy0$ 坐标变换的变换矩阵完全相同，