二叉树搜索树（上）

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概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值

• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

• 二叉搜索树中可以支持插⼊相等的值，也可以不支持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插⼊相等值，multimap/multiset支持插⼊相等值

二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其⾼度为： $O(log_2N)$

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其⾼度为： $O(\frac{N}{2})$

所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是无法满⾜我们需求的，二叉搜索树的变形：平衡二叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两⼤缺陷：

需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

二叉树的插入

插⼊的具体过程如下：

树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
树不空，按二叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点大往右走，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
如果支持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右走，⼀会往左走）

参考代码：

template<class K>
class BSTNode
{
public:BSTNode(const K& key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}private:K _key;BTSNode<K>* _left;BTSNode<K>* _right;};template<class K>
class BSTree
{using Node = BSTNode<k>;//用using替代typedef的作用
public:bool Insert(const K& key){//如果是空树if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;//这时就结束了}//如果不是空树Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur)//当cur不为空{if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;//避免冗余}//到这里说明cur已经找到空位置了，但是不知道是从右走的还是往左走的，得再比一次cur = new Node(key);if (key < parent->_key){parent->left = cur;}else{parent->right = cur;}return true;}
private:Node* _root = nullptr;//是结点指针类型，不是结点类型
};

如果允许已存在的值插入（或者说运行冗余）：

我们会发现，如果走中序遍历（中序遍历顺序是先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树），就是有序的。即使允许冗余的情况下，中序遍历也是有序的。

中序遍历代码参考：

template<class K>
class BSTree
{
//……private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key <<" ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;//是结点指针类型，不是结点类型
};

可以发现一个问题，我们需要传入根节点才能进行中序遍历，但是根节点在类中贝private修饰无法访问。

一种方法是提供GetRoot接口，但还有别的方法:

在C++的类中要写递归时，公开的方法都要套一层。

public:
void InOrder()//类外面拿不到_root，但是类里面是可以的
{_InOrder(_root);
}

类里面二叉树的递归基本都需要像这样套一层。

二叉树搜索树的查找

从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

参考代码：

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else{return true;}}return false;
}

二叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

要删除结点N左右孩⼦均为空
要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。

找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。

替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

参考代码（比较多要注意的细节，写在注释里了）：

bool Erase(const K& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if(key>cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//找到了要删除的数据，接下来进行删除,但是要判断情况//cur的左孩子为空（左右孩子都为空也被包含在内了），然后把cur的右孩子给给父（父可能为空）if (cur->_left == nullptr){//父为空，也就是说要删的是头结点if (parent==nullptr){_root = cur->_right;}else{//要判断父节点的左还是右指针指向cur的孩子if(parent->_left==cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;return true;//别忘了}//cur的右孩子为空，把cur的左孩子给父else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{//判断父节点的左还是右指针指向cur孩子if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;return true;//别忘了}else//现在是cur的左右孩子都不为空{//第一步，找R（这里采用cur的右子树的最小结点/也就是最左结点）Node* p = cur;//这里如果初始给空，后面如果不进循环，会造成对空指针的解引用Node* r = cur->_right;while (r->_left){p = r;r = r->_left;}//第二步，进行交换(但不用真的把cur的值再去给r）cur->_key = r->_key;//第三步，删除R——很容易考虑不全面！！删除R又要把删除的问题考虑全面,但这里不能用递归，会找不到//在删除R时要把R的右孩子（只可能是右孩子）给给父，但是父的左还是右指针不确定if (p->_right == r){p->_right = r->_right;}else{p->_left = r->_right;}delete r;return true;}}}return false;
}