• 用二分法算法(取[a,b]=[1,2])解算非线性方程的根

程序代码及运行结果截图：

手工计算迭代与Matlab迭代对比

迭代次数	手工x	Matlab的x	手工f(x)	Matlab的f（x）
第一次	1.50000	1.5000	1.87500	1.8750
第二次	1.25000	1.2500	0.20313	0.2031
第三次	1.12500	1.1250	-0.45117	-0.4512

手工计算结果保留五位小数，计算机结果保留四位小数，经过比对，结果完全一致。

• 用牛顿迭代法解算非线性方程的根

程序录入及运行界面截图：

手工计算迭代与Matlab迭代对比

迭代次数	手工x	Matlab的x
第一次	1.25806	1.2581
第二次	1.21471	1.2147
第三次	1.21341	1.2134

手工计算结果保留五位小数，计算机结果保留四位小数，经过比对，结果完全一致。

• 实验思考

1.试验改变牛顿迭代算法的迭代初值进行计算，分别对比计算结果并作出分析总结

我改变了初始迭代值分别为1，1.5，2迭代结果如图所示，会有不同，但最后还是会在1.21341这个解这里会合。迭代次数也会有所改变，当初始值变为2时会比其他两个初值多迭代一次。（还有可能改变迭代收敛性）

2.

a = 1;b = 2;tol = eps;  maxK= 100;

[root, k, a, b] = bi(a, b, tol, maxK);

fprintf('近似根为: %f\n', root);fprintf('对应的函数值为: %f\n', f(root));

fprintf('最终区间的左端点 a = %0.20f\n', a);fprintf('最终区间的右端点 b = %0.20f\n', b);

function [root, k, a, b] = bi(a, b, tol, maxK)

    k = 0;

    while k < maxK

        c = (a + b) / 2;fc = f(c);

        if abs(fc) < tol

            root = c;return;

        elseif f(a) * fc < 0

            b = c;

        else

            a = c;

        end

        k = k + 1;

    end

    root = (a + b) / 2;

end

function y = f(x)

    y = x^3 + x - 3;

end

由实验结果可以印证：在计算机（如Matlab上）上实际的的浮点算术体系中二分法运行结果的准确度不可能随迭代过程一直提高。即在精度ε小于等于Matlab的固定变量eps的情况下，二分法最终区间[a,b]的两端点是两个相邻的浮点数。

• 数学建模

模型建立：

F浮=G球；

即：

球体：(单位：m)

则有：f(x)=-x^3+0.3x^2-0.002552,x∈[0,0.2]

对应二分法和牛顿迭代法结果如下：

椭球体：

当c长半轴与水平面平行时：（单位：cm）

由公式代入数值有：f(x)= 25x^3-120x^2-6717,x∈[0,35]

当b长半轴与水平面平行时：（单位：cm）

f(x)=8*x^3-120*x^2-10183,x∈[0,35]

当a长半轴与水平面平行时：（单位：cm）

f(x)=5*x^3-36*x^2-4399,x∈[0,35]

• 实验总结

学会了二分法迭代和牛顿迭代求解非线性方程组，以及这两种解法的的具体迭代过程;学会了将实际的问题通过建立模型转化为数学问题（数学方程）并用matlab程序求解结果。

掌握了function函数的使用，并用function函数编辑程序实现二分法迭代和牛顿法迭代输出结果及中间迭代的过程数据，可以说是越用越熟练。训练了数学建模与应用的能力，还训练到了自己梳理程序流程图的能力。

发现了牛顿法与二分法的优缺点。首先，由于二分法在每一步都取区间中点，对于端点取值的大小差别巨大的平滑函数，二分法是极度低效的。其次，对于在区间 [a,b] 中不改变符号的连续函数，如 F(x)=(x−1)2F(x)=(x-1)^2F(x)=(x-1)^2 ，二分法不保证可以求到根。与二分法不同，牛顿法满足二阶收敛，但是牛顿法的二阶收敛率只在局部被满足。特别地是，若初始点离零点不够近，牛顿法可能会发散，或者变得十分低效。虽然对于牛顿法的使用需要注意不收敛的问题，但是对于二次连续可导的凸函数（F″(x)>0，∀x），牛顿法具有很强的收敛性质（单调收敛）。

今后学习中对于题目分析，信息梳理能力有待提高。对于简化编程语言的能力还有特别大的进步空间。

附录：

二分法代码：

f = @(x) x^3+x-3;

format short

[x,i] = bisect(f,1,2,1e-5,1000)

% 输入函数，范围，精度,最大迭代次数

% 输出根,迭代次数

function [x,i] = bisect(f,a,b,eps,max_iter)

    if sign(f(a))~=sign(f(b))

        for i = 1:max_iter  

            c = a/2+b/2;

            disp(i);

            if (b-a)<eps || abs(f(c))<eps

                x = c;

                break

            end

            if sign(f(a))==sign(f(c))

                a = c;

            else

                b = c;

            end

            disp(c);

            disp(f(c));

        end

    end

end

牛顿法代码：

clc

clear all

syms x;

f=input("请输入需求零解的方程f(x)=(自变量为x,如x^3-x^2-5):   ");

p0=input("请输入牛顿迭代法的初始值p_0：  ");

tol=input("请输入精度E：  ");

maxK=input("请输入最大迭代次数：  ");

[p,k,Y]=NTM(f,p0,tol,maxK);

DP=sprintf("使用牛顿迭代法法迭代%d次，计算%s=0以%g为迭代初始值的解为：%g",k,f,p0,p);

disp(DP);

fprintf("迭代值如下：");

disp(Y);

function [p,k,Y]=NTM(f,p0,tol,maxK)

%p0表示迭代初始值

%f表示要求解的方程

%maxK表示规定的最大迭代次数

%tolr表示允许误差

%k表示最终迭代的次数

%p表示最终迭代的值

    syms x;

    P(1)=p0;

    k=2;

    df=diff(f);     %利用diff()函数计算f(x)的导数

   

    P(k)=P(k-1)-subs(f,x,P(k-1))/subs(df,x,P(k-1)); %第二次迭代的结果

    while k<=maxK

        err=abs(P(k)-P(k-1));    %err表示相邻的迭代值的差值

        if(err<tol)

            fprintf('迭代%d次即可满足允许误差值退出\n',k-1);

            break;

        end

        k=k+1;

        P(k)=P(k-1)-subs(f,x,P(k-1))/subs(df,x,P(k-1));  %迭代

    end      %共迭代了k-1次

    if(k-1==maxK)

        disp("超过最大迭代次数！");

    end

    p=P(k);

    k=k-1;

    Y=P;

end