luogu P1048

知识点总结：背包问题（0/1 背包）

问题描述：给定一个背包的容量 T 和 M 种物品，每种物品具有体积 x 和价值 y。在不超过背包容量 T 的前提下，选择若干物品，使得总价值最大化。

1. 动态规划状态说明（DP状态说明）

在这个背包问题中，我们使用动态规划来求解。

状态定义：定义 dp[j] 表示背包容量为 j 时能够得到的最大价值。
初始状态：dp[0] = 0，表示当背包容量为 0 时，没有物品可以放入，价值为 0。

2. 递推公式

在处理每件物品时，我们有两个选择：

不选这件物品，则当前背包容量 j 的最大价值仍然是 dp[j]。
选这件物品，则最大价值变为 dp[j - x] + y（前一个容量为 j - x 的最大价值，加上当前物品的价值）。

因此，递推公式为：
[
dp[j] = \max(dp[j], dp[j - x] + y)
]

逆序遍历：为了确保每个物品在每次选择中只被使用一次，我们在容量从大到小的顺序进行遍历，以免重复计算一个物品的价值。

3. 代码实现

根据上述思路，代码实现如下：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e4;
int dp[N];int main()
{int T, M;cin >> T >> M;int x, y;// 遍历每种物品for (int i = 0; i < M; i++){cin >> x >> y;// 逆序遍历容量，防止重复使用物品for (int j = T; j >= x; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - x] + y); // 递推公式：取最大值}}cout << dp[T]; // 输出容量为 T 时的最大价值return 0;
}