深度学习数学基础之偏导数

深度学习数学基础之偏导数

偏导数的详细解释与实例

定义

偏导数是多变量函数对其中一个变量的导数,同时固定其他变量。它是研究函数在多维空间内各个方向上局部变化性质的基本工具。对于函数 ( f ( x 1 , x 2 , … , x n ) f(x_1, x_2, \dots, x_n) f(x1,x2,,xn) ),假设我们关注变量 ($ x_i$ ) 的变化对函数值的影响,而其他变量 ( $x_j KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 1: \̲)̲(对所有 \( j \neq i )$)保持不变,偏导数定义为:

[
∂ f ∂ x i = lim ⁡ Δ x i → 0 f ( x 1 , … , x i + Δ x i , … , x n ) − f ( x 1 , … , x i , … , x n ) Δ x i \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_i, \dots, x_n)}{\Delta x_i} xif=limΔxi0Δxif(x1,,xi+Δxi,,xn)f(x1,,xi,,xn)
]

此极限若存在,表示在点 ( ( x 1 , … , x n ) (x_1, \dots, x_n) (x1,,xn) ) 处沿 ( x_i ) 方向的瞬时变化率。

几何意义

在几何上,偏导数可以被解释为函数图形在多维空间中沿坐标轴 ($ x_i $) 的切线斜率。若函数 ( $f $) 在点 ( ( x 1 , … , x n ) (x_1, \dots, x_n) (x1,,xn) ) 处对 ( x_i ) 可微,则该点沿 ($ x_i $) 轴方向的切线斜率即为 ( $\frac{\partial f}{\partial x_i} $)。

计算方法

计算偏导数通常需要使用微分法则,如链式法则、乘积法则和商法则,这些法则在多变量函数中的应用与单变量微积分类似,但需要特别注意只对目标变量求导,其他变量视作常数处理。

实例:计算实例

假设有函数 ($ f(x, y) = x^2 y + \sin(xy) + e^y KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 1: \̲)̲。我们计算它的两个偏导数 \( \frac{\partial f}{\partial x} $) 和 ( $\frac{\partial f}{\partial y} $)。

对 ( x ) 的偏导数

固定 ( y y y ),对 ( x x x ) 求导:

[
KaTeX parse error: {align*} can be used only in display mode.
]

这里使用了乘积法则和链式法则。

对 ( y ) 的偏导数

固定 ( x x x ),对 ( $y $) 求导:

[
KaTeX parse error: {align*} can be used only in display mode.
]

这里同样使用了乘积法则和链式法则,以及对 ( e y e^y ey ) 的直接导数。

应用

偏导数在物理学的各个领域非常重要,例如在流体力学中研究速度场、在热力学中分析温度分布,以及在经济学中优化生产成本。在工程领域,偏导数用于材料应力分析和其他多种类型的动态系统模型。

总结

偏导数是一种描述函数在多维空间内某一特定方向的局部变化率的强大工具。通过它,可以更加深入地理解并分析物理世界和其他科学领域中的现象,以及在实际问题中进行有效的优化和预测。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/diannao/58349.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

大数据之Kafka集群的安装部署

Kafka集群的安装部署是一个相对复杂但有序的过程,涉及多个步骤和配置。以下是一个详细的Kafka集群安装部署指南: 一、前期准备 硬件与软件要求 确保集群中的每台服务器都满足Kafka的硬件要求,包括CPU、内存和磁盘空间。安装Java运行时环境&a…

论文阅读(二十三):Squeeze-and-Excitation Networks

文章目录 1.介绍2.原理3.代码4.SE模块的应用 论文:Squeeze-and-Excitation Networks   论文链接:Squeeze-and-Excitation Networks   代码链接:Github 1.介绍 卷积算子使网络能够在每一层的局部感受野中融合空间(spatial&…

视频智能分析平台LiteAIServer摄像机视频分析软件下载检测工业排污

在全球环境保护与可持续发展的大潮中,工业排污的有效监控与管理成为了衡量一个国家或地区绿色发展能力的重要指标。面对这一挑战,视频智能分析平台LiteAIServer以其创新的技术手段,为工业排污监管开辟了新路径,展现了科技在环保领…

《MYSQL实战45讲》将脏页刷进磁盘时导致的性能抖动

脏页 当修改数据时,如果数据在内存中,就会直接在内存中修改,并且将操作记录在redolog中,这时就可以直接返回了。这时这个内存中的数据页与磁盘中的数据是不同的,称为脏页。 flush Mysql将内存中的脏页刷新到磁盘称为…

【git】 git 删除了文件,如何找回

git 删除了文件,如何找回 使用 git revert 并不是恢复误删除文件的最佳方法,因为 git revert 通常用于撤销已经提交的更改(生成一个反向提交)。如果你误删除了文件,还未提交更改,或者已经提交但想恢复删除…

【Unity基础】初识UI Toolkit - 运行时UI

Unity中的UI工具包(UI Toolkit)不但可以用于创建编辑器UI,同样可以来创建运行时UI。 关于Unity中的UI系统以及使用UI工具包创建编辑器UI可以参见: 1. Unity中的UI系统 2. 初识UI Toolkit - 编辑器UI 本文将通过一个简单示例来…

Nginx 迁移到 Caddy:一次完整的反向代理配置迁移实践

文章目录 从零开始:Ubuntu 系统 Nginx 迁移到 Caddy 的完整指南一、背景介绍二、为什么选择 Caddy?三、安装 Caddy1. 使用官方包仓库安装2. 验证安装3. 配置系统服务 四、配置文件位置五、从 Nginx 迁移配置1. 原 Nginx 配置分析2. 转换为 Caddy 配置 六…

Docker Compose一键部署Spring Boot + Vue项目

目录 前提条件 概述 Compose简介 Compose文件 Compose环境 Compose命令 帮助命令 关键命令 Compose部署项目 初始化环境 查看代码文件 sql数据准备 nginx配置文件准备 创建 compose.yaml 一键启动compose多个容器 浏览器访问虚拟机ip:80(可省略默认的80端口) …

动态代理:面向接口编程,屏蔽RPC处理过程

RPC远程调用 使用 RPC 时,一般的做法是先找服务提供方要接口,通过 Maven把接口依赖到项目中。在编写业务逻辑的时候,如果要调用提供方的接口,只需要通过依赖注入的方式把接口注入到项目中,然后在代码里面直接调用接口…

13.音乐管理系统(基于SpringBoot + Vue)

目录 1.系统的受众说明 ​​​​​​​ 2 需求分析 2.1用例图及用例分析 2.1.1 用户用例图及用例分析 2.1.2 管理员用例图及用例分析 2.2 系统结构图和流程图 2.2.1 音乐播放器的系统流程图(图2.2.1-1) 2.2.2 系统功能表(表2.2.2…

【HarmonyOS】鸿蒙应用低功耗蓝牙BLE的使用心得 (一)

【HarmonyOS】鸿蒙应用低功耗蓝牙BLE的使用心得(一) 一、前言 鸿蒙官网文档中蓝牙部分,对于之前没有开发过蓝牙的同学,使用和查阅起来不是很方便。因为只是API的调用说明。并没有蓝牙整个调用流程的讲解,所以看起来会…

Go语言中数据类型与变量的用法

数据类型详解 在Go语言中,数据类型分为以下几类:基本类型、复合类型和特殊类型。理解这些数据类型可以帮助我们更高效地操作数据和设计程序。 1. 基本数据类型 基本数据类型包含数值类型、布尔类型和字符串类型。 1.1 整数类型 Go支持多种整数类型&…

Golang的多版本管理

Golang的多版本管理 一、 为什么需要多版本管理? 现代软件开发中,随着项目日益复杂,往往需要使用不同的Golang版本来适配不同的依赖库或者框架。同时,不同的项目也可能需要不同的Golang版本来编译和执行。因此,多版本管…

解决milvus migration 迁移数据到出现数据丢失问题

在迁移数据的时候发现数据丢失 问题是数据在批量迁移的过程中,这个错误会被忽略掉 分析下来是因为buuferSize 设置的是500条数据,但是迁移工具对一次迁移的数据是是有大小限制的,如果500条数据的总大小大于4194304,就会导致数据…

Nop平台与SpringCloud的功能对比

Nop平台是根据可逆计算原理从零开始设计并实现的新一代的低代码平台,它的目标并不是针对少数固化的场景提供预置的开发脚手架和可视化设计工具, 而是打破描述式编程和传统命令式编程之间人为制造的藩篱,建立两者无缝相容的一种新的编程范式。…

基于SpringBoot云养鸡互动平台的设计与实现

前言 对于当今社会的人们来说,互联网技术是必不可少的,随着经济和技术的不断发展,计算机已经深入到各个领域。云养鸡互动平台将人们的时间需求与计算机技术结合起来,架起一座桥梁,使云养鸡互动更加方便快捷。云养鸡互…

使用Kubernetes管理容器化应用

使用Kubernetes管理容器化应用 Kubernetes简介 安装Kubernetes 安装Minikube 启动Minikube集群 创建一个简单的Web应用 创建项目目录 初始化项目 安装Node.js依赖 创建Docker镜像 编写Dockerfile 构建并推送Docker镜像 创建Kubernetes配置文件 创建Deployment 创建Service …

ORA-12170: TNS: 连接超时,oracle透过防火墙windows设置USE_SHARED_SOCKET=TRUE

windows单机的oracle数据库,ORA-12170: TNS: 连接超时 sohu博客不能用了,还是挪到csdn靠谱些: 现象如下: 服务器通过junfer防火墙映射端口到内部的一台机器。 内网可以telnet xxx 1522是通的, SQL> conn probl…

Go encoding/json库

JSON在网络上广泛使用,是一种基于文本的数据传输方式。在本集中,我们将与 Daniel Marti 一起探索 Go 的 encoding/json 包和其他包。 本篇内容是根据2020年7月份[#141 {“encoding”:“json”}](https://changelog.com/gotime/141 “#141 {“encoding”…

使用飞桨AI Studio平台训练数据,并进行图像识别分析得牡丹花测试

🎼个人主页:【Y小夜】 😎作者简介:一位双非学校的大二学生,编程爱好者, 专注于基础和实战分享,欢迎私信咨询! 🎆入门专栏:🎇【MySQL&#xff0…