时间序列是最流行的数据类型之一。视频，图像，像素，信号，任何有时间成分的东西都可以转化为时间序列。

在本文中将在分析时间序列时使用的常见的处理方法。这些方法可以帮助你获得有关数据本身的见解，为建模做好准备并且可以得出一些初步结论。

我们将分析一个气象时间序列。利用逐时ERA5 Land[1]研究2023年西伯利亚东南部点的2 m气温、总降水量、地表净太阳辐射和地表压力。

首先我们导入相关的库：

 import pandas as pdimport seaborn as snsimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport xarray as xrimport statsmodels.api as smfrom statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacffrom scipy import stats

matplotlib是可以设置不同的风格的，这里我们使用 opinionated和 ambivalent来进行风格的设置

 from ambivalent import STYLESimport opinionatedplt.style.use(STYLES['ambivalent'])plt.style.use("dark_background")

折线图

要观察一个时间序列，最简单的方法就是折线图。为了处理地理空间多维数组，我们将使用xarray库。

 data = xr.open_dataset('Medium_data.nc')data

现在我们需要针对所选位置对数据进行切片，并将其转换为pandas DF，并创建一个线形图:

 df = data.sel(latitude=52.53, longitude=101.63, method='pad').to_pandas().drop(['latitude', 'longitude'], axis=1)fig, ax = plt.subplots(ncols = 2, nrows = 2, figsize=(16,9))df['t2m'].plot(ax=ax[0,0])ax[0,0].set_title('Air Temperature')df['ssr'].plot(ax=ax[0,1])ax[0,1].set_title('Surface Net Solar Radiation')df['sp'].plot(ax=ax[1,0])ax[1,0].set_title('Surface Pressure')df['tp'].plot(ax=ax[1,1])ax[1,1].set_title('Total Precipitation')plt.tight_layout()plt.show()

从线形图中可以清楚地看出，所有四个时间序列都有不同的特征，下面让我们使用数学工具来研究它们。

分解与平稳性

任何时间序列都有三个重要属性需要考虑:

1、趋势是时间序列中平稳的长期变化;

2、季节性指的是一个时间序列的平均值有规律的周期性变化;

3、噪声(残差)，它是均值为零的信号的随机成分。

为了分别得到这些成分，可以使用经典分解(加性或乘法)。该操作是通过应用卷积滤波器产生的，因此每个时间序列分量被定义为

或者

这里的y为时间序列的值，S为季节分量，T为趋势分量，n为噪声。

为了进行分解，除了选择分解类之外，还需要设置一个季节周期(例如，p=1表示年度数据，p=4表示季度数据，p=12表示月度数据等)。

前面提到的经典分解是一种非常幼稚和简单的方法。它具有明显的局限性，如线性，无法捕捉动态季节性和难以处理时间序列中的非平稳性，但是就本文作为演示，这种方法是可以的。

为了进行经典的分解，我们将使用statmodels库中的seasonal_decomposition函数，周期等于24，因为我们处理的是每小时的数据:

 vars = {'t2m': 'Air Temperature', 'tp': 'Total Precipitation', 'sp': 'Surface Pressure', 'ssr': 'Surface Net Solar Radiation'}for var in df.columns:result = sm.tsa.seasonal_decompose(df[var], model='additive', period = 24)results_df = pd.DataFrame({'trend': result.trend, 'seasonal': result.seasonal, 'resid': result.resid, 'observed': result.observed})fig, ax = plt.subplots(ncols = 2, nrows = 2,figsize=(16,9))ax[0,0].plot(df.index, results_df.trend)ax[0,0].set_title('Trend')ax[0,0].set_ylabel('Value')ax[0,1].plot(df.index, results_df.seasonal)ax[0,1].set_title('Seasonal')ax[1,0].plot(df.index, results_df.resid)ax[1,0].set_title('Residual')ax[1,0].set_ylabel('Value')ax[1,0].set_xlabel('time')ax[1,1].plot(df.index, results_df.observed)ax[1,1].set_title('Observed')ax[1,1].set_xlabel('time')opinionated.set_title_and_suptitle(vars[var], f"Dickey-Fuller test: {round(sm.tsa.stattools.adfuller(df[var])[1],5)}", position_title=[0.45,1],position_sub_title=[0.95, 1])plt.tight_layout()plt.savefig(f'Seasonal_{var}.png')plt.show()

你可以看到，对于所有的变量，季节性因素看起来都很混乱。这是因为我们分析的是每小时的数据，这些季节变化是在一天内观察到的，并没有直接的关联。所以我们可以尝试将数据重新采样到每日间隔，并在一天的时间段内进行分解。

 df_d = df.resample('1d').mean()

请注意到图表右上角的Dickey-Fuller(ADF) 。这是一个平稳性测试，使用的是adfuller函数。对于时间序列，平稳性意味着时间序列的属性不随时间变化。我们这里说的属性是指：方差、季节性、趋势和自相关性。

Dickey-Fuller (ADF)检验的流程是：提出时间序列是非平稳的零假设。然后我们选择显著性水平α，通常为5%。α是错误地拒绝零假设的概率，而零假设实际上是正确的。所以在我们的例子中，α=5%有5%的风险得出时间序列是平稳的，而实际上不是。

测试结果会给出一个p值。如果小于0.05，我们可以拒绝零假设。可以看到，根据ADF检验所有4个变量都是平稳的。

一般情况下要应用时间序列预测模型，如ARIMA等，平稳性是必须的。这也是我们选择气象数据的原因，因为它们在大多数情况下是平稳的，所以才会出现在不同的时间序列相关的学习材料中进行分析。

分布

在得出所有时间序列都是平稳的结论之后，让我们来看看它们是如何分布的。我们将使用著名的seaborn库及其函数pairplot，该函数允许使用历史和kde创建信息丰富的图。

 ax = sns.pairplot(df, diag_kind='kde')ax.map_upper(sns.histplot, bins=20)ax.map_lower(sns.kdeplot, levels=5, color='.1')plt.show()

让我们考虑t2m(1行1列)的示例。在分析核密度估计(kde)图时，很明显这个变量的分布是多模态的，这意味着它由2个或更多的“钟形”组成。在本文的后续阶段中，我们将尝试将变量转换为类似于正态分布的形式。

第一列和第一行中的其他图是相同的，但它们的可视化方式不同。这些是散点图，可以确定两个变量是如何相关的。所以一个点的颜色越深，或者离中心圆越近，这个区域内点的密度就越高。

Box-Cox转换

由于我们已经发现气温时间序列是平稳的，但不是正态分布，所以可以尝试使用Box-Cox变换来修复它。这里使用scipy包及其函数boxcox。

 df_d['t2m_box'], _ = stats.boxcox(df_d.t2m)fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(15,7))sns.histplot(df_d.t2m_box, kde=True, ax=ax[0])sns.histplot(df_d.t2m, kde=True, ax=ax[1])

图的左边部分是经过BoxCox变换后的时间序列分布，可以看到，它还远远不能被称为“正态”分布。但是如果我们把它和右边的比较，我们可以说的确更接近于“正态”。

我们还可以做的另一件事是确保执行的转换是有用的，可以创建一个概率图：绘制理论分布的分位数(在我们的情况下是正态)与经验数据的样本(即我们考虑的时间序列)。越靠近白线的点越好。

 fig = plt.figure()ax1 = fig.add_subplot(211)prob = stats.probplot(df_d.t2m, dist=stats.norm, plot=ax1)ax1.get_lines()[1].set_color('w')ax1.get_lines()[0].set_color('#8dd3c7')ax1.set_title('Probplot against normal distribution')ax2 = fig.add_subplot(212)prob = stats.probplot(df_d.t2m_box, dist=stats.norm, plot=ax2)ax2.get_lines()[1].set_color('w')ax2.get_lines()[0].set_color('#8dd3c7')ax2.set_title('Probplot after Box-Cox transformation')plt.tight_layout()fig = plt.figure()ax1 = fig.add_subplot(211)prob = stats.probplot(df_d.t2m, dist=stats.norm, plot=ax1)ax1.set_title('Probplot against normal distribution')ax2 = fig.add_subplot(212)prob = stats.probplot(df_d.t2m_box, dist=stats.norm, plot=ax2)ax2.set_title('Probplot after Box-Cox transformation')plt.tight_layout()

这个概率图还有一个更常见的名字QQ图

另外需要说明的是，如果打算使用转换后的时间序列进行ML建模，不要忘记应用反向BoxCox转换，这样才能的到最终的正确结果。

自相关

时间序列分析的最后一步是自相关。自相关函数(ACF)估计时间序列和滞后版本之间的相关性。或者换句话说，时间序列的特定值如何与不同时间间隔内的其他先验值相关联。绘制部分自相关函数(PACF)也可能有所帮助，它与自相关相同，但删除了较短滞后的相关性。它估计某个时间戳内值之间的相关性，但控制其他值的影响。

 for var in df.columns[:-1]:fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2,1,figsize=(10,8))plot_acf(df_d.t2m, ax = ax1)plot_pacf(df_d.t2m, ax = ax2)opinionated.set_title_and_suptitle(vars[var], '',position_title=[0.38,1],position_sub_title=[0.95, 1])plt.tight_layout()plt.show()

可以看到在地表压力时间序列中有一个非常强的部分自相关，有1天的滞后。然后明显减弱，3天后几乎消失。这样的分析可以帮助我们更好地理解正在处理的数据的性质，从而得出更有意义的结论。

总结

以上就是在处理时间序列时进行探索性数据分析时常用的方法，通过上面这些方法可以很好的了解到时间序列的信息，为我们后面的建模提供数据的支持。

本文数据：

[1] Muñoz Sabater, J. (2019): ERA5-Land hourly data from 1950 to present. Copernicus Climate Change Service (C3S) Climate Data Store (CDS). DOI: 10.24381/cds.e2161bac

https://avoid.overfit.cn/post/d5229e3c8e464859be9f08bdce612676

作者：Aleksei Rozanov