参考另一位dalao的文章,无恶意
学习博弈论也可返回另一篇笔记
题目描述
小 E 与小 W 进行一项名为 E&D
游戏。
游戏的规则如下:桌子上有 2 n 2n 2n 堆石子,编号为 1 ∼ 2 n 1 \sim 2n 1∼2n。其中,为了方便起见,我们将第 2 k − 1 2k-1 2k−1 堆与第 2 k 2k 2k 堆( 1 ≤ k ≤ n 1 \le k \le n 1≤k≤n)视为同一组。第 i i i 堆的石子个数用一个正整数 S i S_i Si 表示。
一次分割操作指的是,从桌子上任取一堆石子,将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子,从中取出若干个石子放在被移走的位置,组成新的一堆。操作完成后,所有堆的石子数必须保证大于 0 0 0。显然,被分割的一堆的石子数至少要为 2 2 2。两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时,所有堆的石子数均为 1 1 1,则此时没有石子可以操作,判此人输掉比赛。
小 E 进行第一次分割。他想知道,是否存在某种策略使得他一定能战胜小 W。因此,他求助于小 F,也就是你,请你告诉他是否存在必胜策略。例如,假设初始时桌子上有 4 4 4 堆石子,数量分别为 1 , 2 , 3 , 1 1,2,3,1 1,2,3,1。小 E 可以选择移走第 1 1 1 堆,然后将第 2 2 2 堆分割(只能分出 1 1 1 个石子)。接下来,小 W 只能选择移走第 4 4 4 堆,然后将第 3 3 3 堆分割为 1 1 1 和 2 2 2。最后轮到小 E,他只能移走后两堆中数量为 1 1 1 的一堆,将另一堆分割为 1 1 1 和 1 1 1。这样,轮到小 W 时,所有堆的数量均为 1 1 1,则他输掉了比赛。故小 E 存在必胜策略。
输入格式
本题有多组数据。
第一行一个整数 T T T,表示数据组数。
对于每组数据:
第一行一个整数 N N N,表示桌子上共有 N N N 堆石子,这里的 N N N 即为题目描述中的 2 n 2n 2n。
第二行 N N N 个整数 S 1 … N S_{1 \dots N} S1…N。
输出格式
对于每组数据,如果小 E 必胜,则一行一个字符串 YES
,否则一行一个字符串 NO
。
样例 #1
样例输入 #1
2
4
1 2 3 1
6
1 1 1 1 1 1
样例输出 #1
YES
NO
提示
对于 20 % 20\% 20% 的数据, N = 2 N=2 N=2。
对于另外 20 % 20\% 20% 的数据, N ≤ 4 N \le 4 N≤4, S i ≤ 50 S_i \le 50 Si≤50。
对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ T ≤ 20 1 \le T \le 20 1≤T≤20, 1 ≤ N ≤ 2 × 1 0 4 1 \le N \le 2 \times 10^4 1≤N≤2×104 且 N N N 为偶数, 1 ≤ S i ≤ 2 × 1 0 9 1 \le S_i \le 2 \times 10^9 1≤Si≤2×109。
基本思路
这道题又会被恶心到了,但也不差这一次了吧。
被 S G SG SG 函数玩弄这么久,我们应该有一种觉悟,即一个状态应该被单独考虑,因为到最后各个 S G SG SG 值都会被异或起来,故而应该将每个点单独考虑,而不是将一整个联合的局面作为状态考虑。
这题是不是可以用状压做
那么就明晰了,我们不必为一排石子哪个被操作过而烦恼,我们把每个石子单独拿出来考虑。
依照题意,对于单独的石子而言,它会被分割成两堆,因为另一堆去掉了就没有了。那么分割出来的这两堆就是它的后继状态,但是注意是这两堆共同构成了它的一个后继状态,所以不能直接将它们的 S G SG SG 值异或起来。
那么怎么计算呢?我们不是在计算每一堆时都会开一个 v i s vis vis 数组记录后继哪些 S G SG SG 值出现过吗?那么我们直接将他们开成 b i t s e t bitset bitset 压缩空间,还可以直接进行或操作,因为两堆共同构成后继状态的话,我们要取它的并集才可以进行 m e x mex mex 运算。最后参考学习笔记中的第二题,循环枚举分割成什么数量的两堆就可以了。
贡献上我的 30 30 30 分代码。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100;
int t,n,sg[N],a[N],ans;
bitset<N> s[N];
inline int mex(bitset<N> x){int i=0;while(x[i]) i++;return i;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(false);for(int i=2;i<=70;i++){for(int j=1,k=i-1;k;j++,k--)s[i].set(mex(s[j]|s[k]));}cin>>t;while(t--){cin>>n;ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];if(i%2==0)ans^=mex(s[a[i]]|s[a[i-1]]);}if(ans) puts("YES");else puts("NO");}return 0;
}
特别注意不能直接将一组中两堆的数量加起来使用它的 S G SG SG 值,因为 S G SG SG值的话代表它的分割是没确定的,而一组中的分割是确定的。
为什么只有 30 30 30 分?因为题目的数据范围支撑不了。显然碰到这种情况想想我们博弈论有哪两项传统技能?那就是打表预处理和打表观察了,上面这个就是打表代码。
这种题目不要想着预处理了,我们把每个数的 v i s vis vis (代码中的 s s s 数组)导出来看看()。
1: 00000000000000000000
2: 00000000000000000001
3: 00000000000000000010
4: 00000000000000000011
5: 00000000000000000100
6: 00000000000000000101
7: 00000000000000000110
8: 00000000000000000111
9: 00000000000000001000
10: 00000000000000001001
11: 00000000000000001010
12: 00000000000000001011
13: 00000000000000001100
14: 00000000000000001101
15: 00000000000000001110
16: 00000000000000001111
17: 00000000000000010000
18: 00000000000000010001
19: 00000000000000010010
20: 00000000000000010011
我们可以轻而易举地发现 i i i 的 v i s vis vis 就是 i − 1 i-1 i−1 的二进制表示。
那就十分容易了。
核心代码
待补
咕咕咕