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引言

  欢迎光临博主的高级控制系统课程系列博客！在这篇文章中，博主将带领大家深入探讨非线性反步控制的奥秘，涵盖了非线性控制器设计的基础知识。

  本篇博客内容可谓干货满满，将迎来一系列复杂的数学推导，细致地从头到尾推导了所有相关公式，并将这些结果在 Simulink 中进行验证，理论与实际完美契合！

  因此，请各位读者准备好纸笔，跟随博主一起开启这场数学与控制理论交织的思维之旅。前方高能预警，让一起挑战自我，享受知识带来的乐趣吧！

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一、非线性弹簧系统示例

  先以一个非线性弹簧系统作为控制理论的应用实例开始。

1.1 系统描述

  非线性弹簧系统中，小滑块的质量为 $m$ ，弹簧的系数为 $\alpha$，受一个向右的力， $F$ 向右的方向为 $x$ 正方向，其动态方程可以写成
$$m\ddot{x}+\alpha x^3=F$$因为有一个非线性弹簧的力存在，所以是非线性系统。

1.2 控制目标

  通过改变 $F$ ，使小滑块儿按照一条指定的轨迹来进行移动。

1.3 系统动态方程

令：

• $F=u$ 代表输入
• $x_1=x$ 代表位移
• $x_2=\dot{x}$ 代表速度

  目标是令 $x_1$ 趋向于 $x_d$，而这个 $d$ 代表了 desired ，就是一条规定的轨迹，这就是目标。

  重新把它整理一下，变成

$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =\dot{x}=x_2\\ {\dot{x}}_2& =\ddot{x}=-\frac{\alpha }{m}{x}^3+\frac{1}{m}u\end{array}\text{\hspace{1em}(1)(2)}$$  分析一下这个式子，看到在这里面有一个 $u$ ，可以通过改变 $u$ ，也就是改变系统的输入来控制 $x_2$。而通过控制$x_2$ ，在这个式子当中又可以反向控制 $x_1$，这也非常好理解，可以通过作用在滑块上的力 $F$ 来控制滑块本身的速度，而这个速度将最终导致滑块所停留的位置改变。

这样的形式叫做链式系统，其实这样的系统在现实当中有很多。比如

• 空调系统：是通过电扇的转速和加热器的开关来控制向外发出空气的温度，从而最终导致屋内室温的变化。
• 油门系统：通过踩油门来控制进油量，最终控制汽车的速度。

1.4 误差函数与控制目标

  这时引入误差函数 $e$
$$e=x_{1d}-x_1\text{\hspace{1em}(3)}$$

  这个情况下目标就发生了改变，希望 $e\to 0$，因为 $e$ 等于 $0$ 的话，就说明 $x_1$ 是在跟踪 $x_{1d}$ 的，而 $e$ 随时间变化，可以对 $e$ 求导
$$\dot{e}={\dot{x}}_{1d}-{\dot{x}}_1$$
把 $(2)$ 式代入，就等于
$$\dot{e}={\dot{x}}_{1d}-x_2\text{\hspace{1em}(4)}$$

这个式子比较重要，因为目标是让 $e$ 趋向于 $0$ 。

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二、反步控制器设计

2.1 李雅普诺夫函数的应用

  可以寻找一个李亚普诺夫函数 $V(e)$，使得 $V(e)$ 是正定的，而 $\dot{V}(e)$ 是负定的，这样就可以最终得出来 $e$ 趋向于 $0$ 的结论。

这时不妨设
$$V_1=\frac{1}{2}{e}^2\text{\hspace{1em}(5)}$$  就是选取的第一个李雅普诺夫函数，很显然它是正定函数，因为只有在 $e$ 等于 $0$ 时， $V_1$ 才等于 $0$ ，其他时候 $V_1$ 都是大于 $0$ 的
$${\dot{V}}_1=\frac{\partial V_1}{\partial e}\cdot \frac{de}{dt}=e{\dot{e}}^{}=e({\dot{x}}_{1d}-x_2)\text{\hspace{1em}(6)}$$  因为希望 $e$ 趋向于 $0$ ，自然希望 ${\dot{V}}_1$ 是一个负定的系统，所以就可以利用这一项设计
$${\dot{x}}_{1d}-x_2=-k_{1}e$$其中，控制器增益 $k_1>0$。

此时
$${\dot{V}}_1=-k_1{e}^2$$很明显是负定函数。

如何实现让它等于 $-k_1{e}^2$？

可以利用 $x_2$：
$$x_{2d}={\dot{x}}_{1d}+k_{1}e\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$x_{2d}$ 就是 $x_2$ 的期望值，也就是说当 $x_{2d}=x_2$ 时， ${\dot{V}}_1=-k_1{e}^2$。

2.2 新的误差函数与控制目标

这时新的目标就产生了，需要令$x_2\to x_{2d}$ 。可以再引入一个误差函数
$$\delta =x_{2d}-x_2\text{\hspace{1em}(8)}$$这时候把 $(8)$ 式带入到 $(6)$ 式当中，可以得到新的 ${\dot{V}}_1$
$${\dot{V}}_1=e({\dot{x}}_{1d}-(x_{2d}-\delta ))$$
把 $x_{2d}$ 再代入，把 $(7)$ 式代入
$${\dot{V}}_1=-k_1{e}^2+e\delta \text{\hspace{1em}(9)}$$这时来分析一下 $\delta$ 的变化
$$\dot{\delta }={\dot{x}}_{2d}-{\dot{x}}_2$$把 $(2)$ 式带入，同时也把 $(7)$ 式带入
$$\dot{\delta }={\ddot{x}}_{1d}+k_1\dot{e}-(-\frac{\alpha }{m}{x}_1^3+\frac{1}{m}u)$$带入 $(4)$ 式，消到 $\dot{e}$，就就可以得到
$$\dot{\delta }={\ddot{x}}_{1d}+k_1({\dot{x}}_{1d}-x_2)+\frac{\alpha }{m}{x}_1^3-\frac{1}{m}u\text{\hspace{1em}(10)}$$  这时候目标，新的目标使得系统稳定，就希望 $\delta ,e$ 都趋向于零。也就是说要找到一个新的里阿普诺夫函数 $V(e,\delta )$，里面包含了 $e$ 和 $\delta$ ，使得它是正定函数，而且同时满足 $\dot{V}(e,\delta )$ 是负定的。

2.3 李雅普诺夫函数的扩展

不妨构造新的李雅普诺夫函数
$$V_2=V_1+\frac{1}{2}{\delta }^2$$前面已经验证过了 $V_1$ 是一个正定的系统，而后面这一项 $\frac{1}{2}{\delta }^2$ 也是正定的，所以整个来说，$V_2$ 就是正定的，这时对 $V_2$ 求导
$$\dot{V_2}=\dot{V_1}+\delta \dot{\delta }$$代入 $(9)$ 式，这时
$${\dot{V}}_2=-k_1{e}^2+e\delta +\delta \dot{\delta }=-k_1{e}^2+\delta (e+\dot{\delta })$$

2.4 控制器增益的设计

从上式可见，$-k{e}^2$ 是负定系统，而后面这一项 $\delta (e+\dot{\delta })$ 当然也希望是负定的，所以就可以设计
$$e+\dot{\delta }=-k_2\delta$$ 其中，$k_2$ 也是大于 $0$ 的控制器增益，这样
$${\dot{V}}_2=-k_1{e}^2-k_2{\delta }^2$$所以新的目标就是让 $e+\dot{\delta }=-k_2\delta$。

2.5 输入表达式推导

这时把 $(10)$ 代进去可以得到
$$e+{\ddot{x}}_{1d}+k_1({\dot{x}}_{1d}-x_2)+\frac{\alpha }{m}{x}_1^3-\frac{1}{m}u=-k_2\delta$$这时就可以推出来
$$u=me+m{\ddot{x}}_{1d}+m{k}_1({\dot{x}}_{1d}-x_2)+\alpha x_1^3+m{k}_2\delta \text{\hspace{1em}(11)}$$经过了一系列的计算，这是最终想要得到的输入表达形式。

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三、系统验证

下面来验证一下。

3.1 误差函数的动态方程

可以把 $(8)$ 式代入 $(4)$ 式，这时就可以得到
$$\dot{e}={\dot{x}}_{1d}-(x_{2d}-\delta )$$这时再把 $(7)$ 式 $x_{2d}={\dot{x}}_{1d}+k_{1}e$ 代入，就可以新的得到
$$\dot{e}=-k_{1}e+\delta$$再把 $(11)$ 式带回到 $(10)$ 式，就可以得到
$$\begin{array}{rl}\dot{\delta }& ={\ddot{x}}_{1d}+k_1\left({\dot{x}}_{1d}-x_2\right)+\frac{\alpha }{m}{x}_1^3-e\\ & -{\ddot{x}}_{1d}-k_1\left({\dot{x}}_{1d}-x_2\right)-\alpha x_1^3-k_2\delta \\ & =-e-k_2\delta \end{array}$$

3.2 反馈线性化

把它们两个写在一起
$$\left[\begin{array}{c}\dot{e}\\ \dot{\delta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-k_1& 1\\ -1& -k_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ \delta \end{array}\right]$$  可以发现这是线性系统，所以整个过程就是通过反馈系统把它线性化 ( Feedback Linurization )了。

3.3 状态特征值分析

分析一下这个式子，对于这个系统来说，它的状态特征值
$$\begin{array}{c}{\lambda }_1+{\lambda }_2=\Lambda =-k_1-k_2<0\\ {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=\left|\begin{array}{cc}-k_1& 1\\ -1& -k_2\end{array}\right|=k_1{k}_2+1>0\end{array}$$所以可以推出 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 一定是同号，并且都小于 $0$ 。

3.4 系统平衡点稳定性

再来看关于这个系统的平衡点，也就是
$$\left[\begin{array}{c}\dot{e}\\ \dot{\delta }\end{array}\right]=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}e\\ \delta \end{array}\right]=0$$就是它的平衡点是零点，而因为特征值都小于 $0$ ，所以它是渐进稳定的系统。

OK ，所有的问题都已经验证成功。

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四、Simulink仿真

现在进入到 Simulink 当中来看一下整个系统的反应。下载链接如下：

  链接：Simulink仿真文件
  提取码：jjcc

4.1 Simulink模型构建

现在进入到 MATLAB Simulink 里：

4.2 动态方程实现

下面具体看一下

这一部分是系统的动态方程，有两个积分器，所以经过积分可分别得到 $x_1,x_2$ 这里面就代表了系统方程，-u(2)/u(1)*u(3)^3+1/u(1)*u(4) 而这个方程对应于刚刚推导的 $(2)$ 式：
$${\dot{x}}_2=-\frac{\alpha }{m}{x}^3+\frac{1}{m}u\text{\hspace{1em}(2)}$$

4.3 输入信号构建

再看这一部分

  这一部分就是系统输入，有很多项组成，可以在这里进行调节，由这一大堆式子来表明了 $u$ 是怎么建立的：

u(1)*u(3)+u(1)*u(11)+u(1)*u(4)*(u(10)-u(8))+u(2)*u(7)^3+u(1)*u(5)*u(6)

4.4 期望值子系统设计

  再回到头看左上角的期望值子系统，就是系统的设定值，打开看一下它的样子：

  这里把它写成了一个正弦曲线的方法，因为如果自己直接用 Matlab 自带的 DDT 函数，就是 Derivative 模块的话，并不是一个很好的选择，因为它是用数值来解的，会出现无穷点，所以这部分自己写，因为考虑到是 sin 函数，所以这第一部分 sinx1 函数如下：

u(2)+u(3)*sin(u(1)*pi/u(4))

  左侧第二个模块 u(2) 为重复序列阶梯(Repeating Sequence Stair)，u(3) Osc 为正弦函数的变化幅值，再乘以 sin 正弦函数。下面两个分别是它的导数以及二阶导数。

4.5 仿真结果分析

(1) 单目标值追踪

  先来看一下，把正弦函数的变化幅值 Osc 设成 $0$ 。假如就让目标值到 $3$ ，让 $x_1$ 的初始值是 $0$ ，这时候运行一下

  这个 scope 代表了 $x_1$ 和 $x_{1d}$，$x_1$ 是从 $0$ 开始的， $3$ 是目标值，红线是目标，可以看到它很好地追踪到了黄线上。

(2) 多目标值追踪

  这时改一下，把期望值改成有多个目标值的阶梯形式，比如 [3 5 7 2 1].'，再来做运行一下

可以看到也是非常好的追踪效果。

(3) 波动与振荡效果测试

再来改一下，加上一些 波动，都让它从 $3$ 开始，但是存在以 $10$ 秒为周期的波动。

  所以这时来看红线是想要的，走一个正弦波的形状，蓝线也是非常好的追踪效果，很快地就追踪过去了。

  这时的输入可想而知，也是类似正弦的效果：

(4) 综合效果分析

  这时再把期望值的 u(2) 复杂一点，比如说 [3 5 3 5 2].'，同样让它有一个正弦信号的波动，这样再来看

  追踪的效果依然还是非常好的，看到大概在 $5$ 秒左右时，就可以很完整地贴合过去，最终效果比较好，大家可以把它下载下来，以后自己尝试不同的组合玩一玩。而且大家可以修改质量块的质量，修改弹性系数，包括可以修改不同的控制器增益，看会有什么不同的反应。

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五、Matlab实现

%DSC example
%--------------------------------system-----------------------------------%
%dot_x1=x2
%dot_x2=-x1^2+u
%-------------------------------settings----------------------------------%
%initial state
%x1(0)=0.5，x2(0)=0
%sample time
%tao=0.01
%tracking target
%x_1d=[3 1 4 1 3]//interval time:20
%-------------------------------------------------------------------------%%-------------------------------数据初始化--------------------------------%
%参数取值
k1=1;
k2=50;
%采样时间
tao=0.01;
%总采样次数
T=10000;
%总时间
total_time=tao*T;      %观测时间设置为100秒
%定义初始状态
x1_initial=0.5;
x2_initial=0;
u_initial=0;
%定义状态变量矩阵和控制变量矩阵
x1=zeros(1,T);
x2=zeros(1,T);
u=zeros(1,T);
%x1d的定义
x1d=zeros(1,T);
for i=1:T/5x1d(i)=3;
end
for i=T/5+1:2*T/5x1d(i)=1;
end
for i=2*T/5+1:3*T/5x1d(i)=4;
end
for i=3*T/5+1:4*T/5x1d(i)=1;
end
for i=4*T/5+1:Tx1d(i)=3;
end
%x2d初始化
x2d=zeros(1,(T));
%x2_bar表示x2上面带杠杠
x2_bar=0;
for k=1:Tif k==1x1(k)=x1_initial+tao*x2_initial;x2(k)=x2_initial+tao*(-x1_initial^2+u_initial);x2d(k)=x2_bar;x2_bar=(x1d(k)-0)/tao-k1*(x1(k)-x1d(k));u(k)=-(x1(k)-x1d(k))+x1(k)^2+(x2_bar-x2d(k))/tao-k2*(x2(k)-x2d(k));elsex1(k)=x1(k-1)+tao*x2(k-1);x2(k)=x2(k-1)+tao*(-x1(k-1)^2+u(k-1));x2d(k)=x2_bar;x2_bar=(x1d(k)-x1d(k-1))/tao-k1*(x1(k)-x1d(k));u(k)=-(x1(k)-x1d(k))+x1(k)^2+(x2_bar-x2d(k))/tao-k2*(x2(k)-x2d(k));end
end
figure(1),hold on;
plot(x1,'b','linewidth',1.2);
plot(x1d,'r','linewidth',1.2);
xlabel('时间/s');
ylabel('信号幅值');
title('动态面控制效果');
legend('x1','x1d')
set(gca,'xticklabel',0:10:100);
hold off;

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六、总结

  在本篇博客中，通过一个非线性弹簧系统实例，深入探讨了控制理论的应用。首先描述了系统的动态方程，并提出了控制目标：通过改变输入力$F$，使小滑块按照指定轨迹移动。接着引入误差函数，并利用李雅普诺夫函数设计了反步控制器，通过反馈线性化将非线性系统转化为线性系统，并分析了系统的稳定性。

  在 Simulink 仿真环节，构建了系统模型，并进行了动态方程的实现。通过设定不同的期望值，观察了系统对单目标值、多目标值以及波动和振荡效果的追踪能力。仿真结果显示，系统具有良好的追踪效果和稳定性。

  本篇博客的内容就到这，下篇博客将进入自适应控制中，也就是说如果整个系统受到外界的不确定扰动，应该如何设计控制器，欢迎大家留言讨论。

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参考资料

  [1]【Advanced控制理论】15_Nonlinear Backstepping Control_反馈线性化控制_Feedback Linearization

  [2] 全网最细反步法控制（Backstepping）设计讲解！！（3）——反步法控制、动态面matlab实例！（Dyanamic surface control）

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后记：

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