线性代数基础02_矩阵(下)向量

一、矩阵（下）

1、伴随矩阵

2、逆矩阵

3、初等变换

4、矩阵的标准形

4.1行阶梯形矩阵

4.2简化行阶梯型矩阵

二、向量

1、定义

2、向量的运算

3、矩阵的特征值和特征向量

4、向量的模

5、向量的内积

一、矩阵（下）

1、伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：

其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

步骤：

先按行求出每个元素的代数余子式，
将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

性质

$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$
$|A^{*}|=|A|^{n-1}$

2、逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$ 。

存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

性质

n阶方阵A可逆的充要条件为 $|A|\neq 0$ 且当A可逆时， $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$
设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵，那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为： $(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

3、初等变换

初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

初等行变换：

交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置
某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k
某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

初等列变换

交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

4、矩阵的标准形

常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。

4.1行阶梯形矩阵

特征

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。

e.g.

4.2简化行阶梯型矩阵

特征

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元为 1：每一行的第一个非零元素（主元）为 1。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
主元上方元素为零：每一行的主元上方元素都为零。

二、向量

1、定义

几何定义：向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。向量的起点称为原点，终点称为向量的端点。
代数定义：向量是一个有序的数组，通常表示为列向量或行向量。

例如，一个 n 维列向量可以表示为：

一个 n 维行向量可以表示为：

其中 v1,v2,…,vn是向量的分量，行向量和列向量在本质上没有区别。

向量表示

几何表示：在二维或三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
代数表示：向量可以用列向量或行向量表示，如上所述。
坐标表示：在二维或三维空间中，向量可以用坐标表示。例如，二维向量 v=(v1,v2)v=(v1,v2) 表示在 x 轴和 y 轴上的分量。

2、向量的运算

向量有几种基本的运算，包括加法、数乘、点积和叉积。

加法

向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的加法为：

数乘

向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。例如，一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为：

点积

向量点积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，然后将结果相加，得到一个标量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的点积为：

3、矩阵的特征值和特征向量

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ，使得：

$Av=\lambda v$

那么 λ 称为矩阵 A的特征值，v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。

说明

λ可以为0，而v不能为0，并且v是列向量。因为A是n维矩阵，如果v是行向量，则维数是1xn，不满足矩阵相乘。
(A-λE)：特征矩阵；|A-λE|：特征行列式或特征多项式；|A-λE|=0：特征方程。
λ是A的特征值，v是对应λ的一个特征向量，则cv也是λ的一个特征向量，c为不等于0的标量。

4、向量的模

定义

向量 v 的模记作 ∥v∥，计算公式为：

几何解释

在二维空间中，向量 v=(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中，向量 v=(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。

||v||=1，叫做单位向量的模。如：v=(1,0,0)

性质

非负性：∥v∥≥0，并且 ∥v∥=0 当且仅当 v=0（零向量）。
齐次性：对于任意标量 k，∥kv∥=∣k∣∥v∥。
三角不等式：对于任意向量 u 和 v，∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。

5、向量的内积

定义

对于两个 n 维向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn)，它们的内积（点积）表示为 a⋅b，计算公式为：

几何解释

在几何上，内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说，如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角，那么内积可以表示为：

其中：

∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模（长度）。
cos⁡(θ)是夹角 θ 的余弦值。

性质

交换律：a⋅b=b⋅a
分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
数乘结合律：(ka)⋅b=k(a⋅b)=a⋅(kb)(，其中 k 是标量。
正定性：a⋅a≥0，并且 a⋅a=0 当且仅当 a=0。

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