代码随想录训练营 Day13打卡 二叉树 part01

一、 二叉树理论基础

二叉树是一种重要的数据结构，用于表示具有层次关系的数据。二叉树的每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。

种类

1. 普通二叉树： 节点最多有两个子节点，没有其他特定规则。
2. 满二叉树： 所有非叶子节点都拥有两个子节点，并且所有叶子节点都在同一层上。
3. 完全二叉树： 除最后一层外，每一层都是满的，并且最后一层的节点都尽可能地集中在左侧。
4. 二叉搜索树（BST）： 每个节点的左子树只包含键小于节点键的节点，右子树只包含键大于节点键的节点。
5. 平衡二叉树（AVL树）： 任何节点的两个子树的高度差不超过1。
6. 红黑树： 一种自平衡的二叉搜索树，它有额外的属性和特定的规则，以确保树的高度大致平衡。

存储方式

二叉树可以用多种方式存储，最常见的包括：

1. 链式存储： 每个节点包含数据和两个指向子节点的引用（左和右）。
2. 顺序存储： 使用数组存储二叉树的节点。对于数组中位置为 i 的节点，其左子节点位于 2i+1，右子节点位于 2i+2，父节点位于
   (i-1)/2。

遍历方式

二叉树的遍历分为三种主要类型：

1. 前序遍历（Preorder）： 先访问根节点，然后递归地做前序遍历左子树，再递归地做前序遍历右子树。
2. 中序遍历（Inorder）： 先递归地做中序遍历左子树，访问根节点，然后递归地做中序遍历右子树。
3. 后序遍历（Postorder）： 先递归地做后序遍历左子树，然后递归地做后序遍历右子树，最后访问根节点。
4. 层次遍历（Level-order）： 按照树的层次从上到下、从左到右遍历，通常使用队列来实现。

Python中二叉树的实现

class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = right

二、 递归遍历

递归算法的三个要素

1. 参数与返回值： 定义递归函数的参数及其返回值。
2. 终止条件： 定义递归应停止的条件。
3. 单层递归逻辑： 定义每层递归需要执行的操作及如何递归调用自身。

遵循这三个步骤可以帮助你编写出清晰且正确的递归算法。

前序遍历（Preorder Traversal）

前序遍历的顺序是根节点 → 左子树 → 右子树。

class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightclass Solution:def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:res = []def dfs(node):# 终止条件：节点为空if not node:return# 单层递归逻辑：访问根，然后左子树，然后右子树res.append(node.val)   # 访问根节点dfs(node.left)         # 递归访问左子树dfs(node.right)        # 递归访问右子树dfs(root)return res

中序遍历（Inorder Traversal）

中序遍历的顺序是左子树 → 根节点 → 右子树。

class Solution:def inorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:res = []def dfs(node):# 终止条件：节点为空if not node:return# 单层递归逻辑：先左子树，再访问根，最后右子树dfs(node.left)         # 递归访问左子树res.append(node.val)   # 访问根节点dfs(node.right)        # 递归访问右子树dfs(root)return res

后序遍历（Postorder Traversal）

后序遍历的顺序是左子树 → 右子树 → 根节点。

class Solution:def postorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:res = []def dfs(node):# 终止条件：节点为空if not node:return# 单层递归逻辑：先左子树，再右子树，最后访问根dfs(node.left)         # 递归访问左子树dfs(node.right)        # 递归访问右子树res.append(node.val)   # 访问根节点dfs(root)return res

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三、 迭代遍历

为什么可以使用迭代方式实现二叉树遍历？

递归本质上是通过函数 调用栈 来保存暂停点的数据，然后在返回时继续执行。
每个递归调用保存当前函数的局部变量和必要的状态信息，使得函数能够在执行完成后返回到正确的位置继续执行。
通过使用栈结构，我们可以显式地模拟这个过程，自己管理栈中元素的入栈和出栈，从而控制程序的执行流程。

前序遍历（迭代法）

前序遍历的顺序是：中 - 左 - 右。要使用迭代法实现前序遍历，你可以遵循以下步骤：

1. 创建一个空栈，首先将根节点压入栈中。

2. 循环直到栈为空：

   · 弹出栈顶元素，访问该节点。
   · 将该节点的右孩子压入栈中（如果有）。
   · 将该节点的左孩子压入栈中（如果有）。

这样的处理顺序确保了每次从栈中弹出的是下一个要访问的节点，因为栈是后进先出（LIFO）的数据结构，所以要先处理的节点后入栈。
动画如下：

# 前序遍历-迭代-LC144_二叉树的前序遍历
class Solution:def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:# 根结点为空则返回空列表if not root:return []stack = [root]result = []while stack:node = stack.pop()# 中结点先处理result.append(node.val)# 右孩子先入栈if node.right:stack.append(node.right)# 左孩子后入栈if node.left:stack.append(node.left)return result

后序遍历（迭代法）

再来看后序遍历，先序遍历是中左右，后序遍历是左右中，那么我们只需要调整一下先序遍历的代码顺序，就变成中右左的遍历顺序，然后在反转result数组，输出的结果顺序就是左右中了，如下图：

# 后序遍历-迭代-LC145_二叉树的后序遍历
class Solution:def postorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:if not root:return []stack = [root]result = []while stack:node = stack.pop()# 中结点先处理result.append(node.val)# 左孩子先入栈if node.left:stack.append(node.left)# 右孩子后入栈if node.right:stack.append(node.right)# 将最终的数组翻转return result[::-1]

中序遍历（迭代法）

中序遍历的迭代实现需要精心处理访问和处理元素的顺序，因为中序遍历的顺序是左中右，这导致了处理节点的顺序（将节点值加入结果数组）与节点的访问顺序（遍历到该节点）不一致。

那么在 使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素。

动画如下：

实现思路

1. 栈的使用：

   栈用来暂存还未处理的节点，这主要是因为在深入左子树过程中，我们还没处理父节点及其右子树。

2. 访问与处理分离：

   使用一个指针 cur（当前节点）来进行树的遍历，遵循中序遍历的规则（左-中-右）。
   当 cur 不为空，表示还有左子树需要进一步深入访问，所以将 cur 入栈并转向左子节点。
   当 cur 为空，表示左边已到底，此时从栈中取出节点进行处理（输出节点值），然后转向右子树。

3. 迭代循环的条件：

   当 cur 不为空或栈不为空时，循环继续。这是因为：
   cur 不为空表示当前节点或其左子树还未完全处理。
   栈不为空表示还有一些节点的右子树需要处理。

class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightclass Solution:def inorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:if not root:return []stack = []  # 使用栈来追踪未处理的节点result = []  # 结果数组，用来存放按照中序遍历的节点值cur = root  # 使用 cur 指针来遍历树while cur or stack:if cur:# 深入遍历到左子树最深处，左子节点一直入栈stack.append(cur)cur = cur.leftelse:# 到达最左侧节点后，开始处理节点cur = stack.pop()  # 弹出待处理的节点result.append(cur.val)  # 将节点值加入结果数组cur = cur.right  # 转向处理右子树return result

通过上述迭代法，我们能够不使用递归（系统调用栈）而使用显式栈来控制中序遍历的流程，这样可以避免递归可能引起的栈溢出问题，并且对遍历过程有更明确的控制。

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四、 层序遍历

层序遍历二叉树（也称为宽度优先遍历或广度优先遍历）是一种按照层次顺序遍历二叉树节点的方法。在这一遍历过程中，首先访问根节点，然后依次访问其子节点，再依次访问下一层的所有节点，依此类推，直到遍历完所有层。

为了实现层序遍历，我们通常使用队列这种数据结构，因为队列遵循先进先出（FIFO）的原则，这与层序遍历的逻辑相吻合。

使用队列实现二叉树广度优先遍历，动画如下：

下面是一个使用队列实现层序遍历的步骤说明：

1. 初始化队列： 创建一个空队列。

2. 入队根节点： 将根节点入队。

3. 循环处理队列：

   循环条件：只要队列不为空，就一直处理。
   出队节点：从队列头部取出一个节点。
   访问节点：处理或访问该节点。
   入队子节点：将该节点的左右子节点（如果有）入队。

4. 重复步骤3： 直到队列为空。

版本一 迭代法

层次遍历（或广度优先搜索）通常使用队列来实现。这种方法依靠队列的先进先出（FIFO）特性来保持节点的访问顺序。

from collections import dequeclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightclass Solution:def levelOrder(self, root: Optional[TreeNode]) -> List[List[int]]:if not root:return []queue = deque([root])  # 初始化队列，首先加入根节点result = []  # 用于存储每一层的节点值while queue:level = []  # 存储当前层的所有节点值level_length = len(queue)  # 当前层的节点数for _ in range(level_length):cur = queue.popleft()  # 弹出队列前端的节点level.append(cur.val)  # 将当前节点的值加入到本层列表中# 如果当前节点有左子节点，将其加入队列if cur.left:queue.append(cur.left)# 如果当前节点有右子节点，将其加入队列if cur.right:queue.append(cur.right)result.append(level)  # 将当前层的结果加入到最终结果列表中return result

版本二 递归法

递归方法通过定义一个辅助函数来遍历树，这个辅助函数接受当前节点和节点的层级作为参数，层级用来确定当前节点值应该被添加到结果列表的哪个部分。

class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightclass Solution:def levelOrder(self, root: Optional[TreeNode]) -> List[List[int]]:if not root:return []levels = []  # 用于存储所有层的节点值def traverse(node, level):# 如果当前层还没有创建列表，则新增一个空列表if len(levels) == level:levels.append([])# 将当前节点的值添加到对应层的列表中levels[level].append(node.val)# 递归处理左子节点，层级加一if node.left:traverse(node.left, level + 1)# 递归处理右子节点，层级加一if node.right:traverse(node.right, level + 1)traverse(root, 0)  # 从根节点的第0层开始遍历return levels

• 迭代法 通过显式使用队列来按层次顺序遍历树的节点，适合于需要严格按照层序的场景。
• 递归法 通过调用栈来实现层次遍历，更直观，但在深度很大的树中可能会导致栈溢出。

这两种方法各有优势，通常迭代法在实现树的层次遍历时更为常见和直接，递归法则更加简洁。根据具体情况选择合适的方法。

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