文章目录
- 前言
- 1.背景知识
- 两个概念：
- 2.最优化问题
- 2.1应用
- 2.2 最优化问题的数学形式
- 极小化目标函数
- 可行区域
- 可行解
- 2.3 举例说明
- 2.4 最优化问题不同的类型
- 2.5 一些概念
- 3.凸集和凸函数
- 3.1 范数
- 3.2 矩阵范数（扩展）
- 3.3 凸集与凸函数
- 凸集
- 凸函数
- 写在最后
- END
前言
随笔 - 基本概念
1.背景知识
最优化是一种数学方法，在一定约束条件下，找到某个目标函数的最大值或最小值。简单来说，最优化就是“找到最佳解决方案”的过程。（从所有可能的方案中选择最合理的一种方案）
寻找最优方案的方法即最优化方法
两个概念：
- 目标函数：需要优化的函数，可以是求最大值或最小值。
- 约束条件：限制目标函数的一系列条件或规则。
2.最优化问题
2.1应用
商业决策、工程设计、资源分配、算法设计等
2.2 最优化问题的数学形式
极小化目标函数、可行区域和可行解是优化问题中的三个核心概念。
极小化目标函数
极小化目标函数是指在优化问题中，希望找到的解使得目标函数的值尽可能小。
可行区域
可行区域是指所有可能的解中，满足所有约束条件的解的集合。
可行解
可行解是指在可行区域内的任何一个解。这些解满足所有的约束条件，因此可以被认为是问题的有效候选解。
求解此类问题称为programming问题
2.3 举例说明
数学模型为
2.4 最优化问题不同的类型
-
离散最优化：决策变量取值是离散的，也就是说，它们只能取有限个或可数无限个值。这类问题通常涉及整数或组合优化，例如旅行商问题（TSP）和0-1背包问题。
-
连续最优化：决策变量取值是连续的，可以是任意实数值。这意味着决策变量可以在某个区间内取任意值，例如在生产计划中确定产品的最优产量。
-
光滑最优化：所有函数（包括目标函数和约束函数）都是连续可微的。这意味着这些函数在定义域内具有连续的导数，可以使用微分法来寻找最优解。
-
非光滑最优化：至少有一个函数（目标函数或约束函数）是非光滑的，也就是说，它可能在某点不可导或不连续。这类问题可能需要特殊的优化算法来解决，因为传统的基于梯度的方法可能不适用。
-
线性规划：目标函数和所有约束函数都是变量的线性函数，即它们可以表示为变量的一次幂的线性组合。线性规划问题通常可以通过单纯形算法等方法解决。（我们开始学用）
-
二次规划：目标函数是变量的二次函数，即可以表示为变量的平方项和变量乘积的线性组合，而约束函数是线性函数。二次规划问题比线性规划问题复杂，但仍然可以通过一些特定的算法（如内点法或二次规划算法）来解决。
2.5 一些概念
| 类别 | 定义或描述 |
|---|---|
| 可行点 | 满足所有约束条件的点 |
| 可行集或可行域 | 包含所有可行点的集合 |
| 有效约束或起作用约束 | 指在特定条件下，能够限制或影响变量或系统行为的约束 |
| 无效约束或不起作用约束 | 指在特定条件下，对变量或系统行为没有实际影响的约束 |
| 无约束问题 | 可行域是整个空间的问题，即没有约束限制问题 |
3.凸集和凸函数
3.1 范数
概述：范数是一个在向量空间中定义的函数，它赋予每个向量一个非负长度或大小。范数通常用来衡量向量的大小或距离，它具有以下性质：
-
非负性：对于任意向量
𝑥，范数‖𝑥‖总是非负的，即‖𝑥‖ ≥ 0。当且仅当向量𝑥是零向量时，范数等于0。 -
齐次性（绝对齐次性）：对于任意向量
𝑥和任意非负实数α，有‖α𝑥‖ = |α|‖𝑥‖。 -
三角不等式：对于任意向量
𝑥和𝑦，有‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖。
最常见的几种范数包括：
-
欧几里得范数（L2范数）：这是最常用的范数，定义为向量的各分量平方和的平方根，即
‖𝑥‖₂ = √(∑︀_{𝑖=1}^{𝑛} |𝑥𝑖|²)。 -
曼哈顿范数（L1范数）：也称为1-范数，是向量的各分量绝对值之和，即
‖𝑥‖₁ = ∑︀_{𝑖=1}^{𝑛} |𝑥𝑖|。 -
无穷范数（L∞范数）：是向量中所有分量绝对值的最大值，即
‖𝑥‖₊ = max(|𝑥₁|, |𝑥₂|, ..., |𝑥𝑛|)。 -
p-范数：是L1范数和L2范数的一般化，定义为
‖𝑥‖ₚ = (∑︀_{𝑖=1}^{𝑛} |𝑥𝑖|^𝑝)^(1/𝑝)，其中𝑝 ≥ 1且𝑝 ≠ ∞。
在函数空间中，范数可以用来衡量函数的“大小”或“能量”。
3.2 矩阵范数（扩展）
3.3 凸集与凸函数
凸集
定义：一个集合 C 在向量空间中称为凸集，如果对于集合中的任意两个点 x 和 y，以及任意的 λ 满足 0 ≤ λ ≤ 1，点 λx + (1 - λ)y 也在集合 C 中。
几何解释：直观上，如果一个集合中的任意两点之间的线段都完全包含在这个集合内，那么这个集合就是凸的。
性质：
- 任意两个点的凸组合（即线性组合，系数之和为1）也在凸集内。
- 凸集是封闭的，即如果一个序列的点都在凸集内，并且收敛到某一点，那么这个极限点也在凸集内。
凸函数
定义：一个函数 f: C → ℝ 定义在凸集 C 上，如果对于任意的 x, y ∈ C 和任意的 λ 满足 0 ≤ λ ≤ 1，都有：
f(λx + (1 - λ)y) ≤ λf(x) + (1 - λ)f(y)
几何解释：如果一个函数的图像位于任意两点连线的下方，那么这个函数是凸的。
性质：
- 凸函数的局部最小值也是全局最小值。
- 凸函数的一阶导数（如果存在）是单调递增的，二阶导数（如果存在）是非负的。
凸集的证明见：【最优化方法】期末考试题型讲解部分 - 凸集的证明
写在最后
欢迎技术类的问题到这里提出，我会逐个解答
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