【算法/学习】前缀和差分

前缀和&&差分目录

1. 前缀和的概念及作用

🌈概念

🌈用途

🌙一维前缀和

🌙二维前缀和

2. 差分的概念及用途

🌈概念:

🌈用途

🌙一维差分

🌙二维差分


1. 前缀和的概念及作用

🌈概念

前缀和:

🎈对于一个给定的数列a,他的前缀和数中 s 中 s[ i ] 表示从第一个元素到第 i 个元素的总和。即s[ i ] = s[ i - 1 ] + a[ i ];

比如: s[ 1 ] = s[ 0 ] + a[ 1 ]。   

注意:在使用前缀和和差分的时候,一般下标 0  不参与的运算,统一的将下表设置为从1开始,具体是要考虑到我们的边界问题,也就是S[1]的求法问题,为了保证我们循环的统一性,我们要将S[0]设置为0,所以我们索性就将下标从1开始设置起,这样也有利于我们后面的初始化。

🌈用途

可以用于一维前缀和和二维前缀和。

模板如下:

🌙一维前缀和

核心代码如下:

s[i] = s[i-1] + a[i]
s[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = s[r] - s[l - 1]

🧩例题如下:

 题目练习: AcWing 795. 前缀和

思路:

首先做一个预处理,定义一个s数组,让s[ i ]代表 a 数组前 i 个数的和。

然后运用求一维前缀和运算的公式 s[i] = s[i-1] + a[i] 

再进行查询操作:即s[ r ] - s[ l - 1] ,这样使得求 [ l, r ]的和的时间复杂度变为 O (1).

注意:求 [ l, r ]的和是s[ r ] - s[ l - 1],之所以要 l - 1是因为,a[ l ] 也包括在内

因为a[l] + ... + a[r] = s[r] - s[l - 1]

AC代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e5+10;
int a[N], s[N];int main(){int n, m, x;cin>>n>>m;for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i];for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = a[i] + s[i - 1];int l, r;while(m--){cin>>l>>r;cout<<s[r] - s[l - 1]<<endl;}return 0;
}


🌙二维前缀和

和一维前缀和的原理类似,只不过二维前缀和求的是一个矩阵中所有元素的和。

如下图:


因此通过上面的图我们就可以更好理解下图来推导公式了:

s[ i ][ j ] 即为框内所有数的和:s[ i ][ j ]=s[ i ][ j - 1 ]+s[ i - 1 ][ j ] - s[ i - 1 ][ j - 1 ]+a[ i ][ j ];

而(x1, y1) 到 (x2, y2)的矩阵大小为s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]

核心代码:

s[x][y]=s[x][y-1]+s[x-1][y]-s[x-1][y-1]+a[x][y];
s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]

🧩例题如下:

  题目练习: AcWing 796. 子矩阵的和

思路:

先做一个预处理,定义一个s矩阵,s[ i ][ j ]代表 a 矩阵 从(0,0)到(i,j)的矩阵和。

然后运用求一维前缀和运算的公式 s[i] = s[i-1] + a[i] 

再进行查询操作:即s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]。

这样使得求 (x1, y1) 到 (x2, y2)的矩阵大小的和的时间复杂度变为 O (1).

AC代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1005;
int a[N][N], s[N][N];int main(){int n, m, q;cin >> n >> m >> q;//第一步:输入矩阵的值for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){cin >> a[i][j];}}//第二步:求矩阵前缀和for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++) {s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];}}//第三步:查找(x1,y1)到(x2,y2)的矩阵大小while (q--){int x1, x2, y1, y2;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);}return 0;
}


2. 差分的概念及用途

🌈概念:

差分:

🎈 类似于数学中的求导和积分,差分可以看成前缀和的逆运算

对于一个给定的数列a,其中a[1],a[2]…a[n]作为前缀和。它的差分数组中 b 中 b[ i ] 表示从第 i - 1个元素到第 i 个元素的差值。即b[ i ] = a[ i ] - s[ i - 1 ];

一维差分数组的构造也很简单,即a[1] = b[1], b[2] = a[2] - a[1], b[n] = a[n] - a[n-1];

注意:刚开始时可以初始化数组a,b全部为0,输入a数组后;在构造时,只需要将b[1]看做在[1, 1]区间上加上a[1]; b[2] 看作在[2, 2]区间上加上a[2];

🌈用途

🌙一维差分

      差分数组的好处是可以简化运算,例如想要给一个区间 [l,r] 上的数组加一个常数c原始的方法是依次加上c,这样的时间复杂度是O(n)的。但是如果采用差分数组的话,可以大大降低时间复杂度到O(1)。

       因此只需要将b[l] = b[l] + c 即可,这样l之后的数字会依次加上常数c,而在 b[r]处,将b[r+1] = b[r+1] - c ,这样r之后的数组又会恢复原值,仅需要处理这两个边界的差分数组即可。时间复杂度大大降低。

核心代码如下:

b[i]=a[i]-a[i-1];
a[i] = b[i] + a[i - 1];

🧩例题如下:

题目练习: AcWing 797. 差分

思路:

首先做一个预处理,定义一个b数组,让b[ i ]代表a[ i ] - a[ i -1 ].

因此只需要将b[l] = b[l] + c 即可,这样l之后的数字会依次加上常数c,而在 b[r]处,将b[r+1] = b[r+1] - c ,这样r之后的数组又会恢复原值,仅需要处理这两个边界的差分数组即可。

AC代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e5 + 5;
int b[N], a[N];int main()
{int n, m;cin>>n>>m;for (int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d", &a[i]);b[i]=a[i]-a[i-1];}while(m--){int l,r,c;cin>>l>>r>>c;b[l]+=c;b[r+1]-=c;}for (int i = 1; i <= n; i++){a[i] = b[i] + a[i - 1];printf("%d ", a[i]);}return 0;
}


🌙二维差分

如果扩展到二维,我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c,是否也可以达到O(1)的时间复杂度。答案是可以的,考虑二维差分

a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组,那么b[][]a[][]的差分数组

原数组: a[i][j]

我们去构造差分数组: b[i][j]

使得a数组中a[i][j]b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和。

如何构造b数组呢?

其实关于差分数组,我们并不用考虑其构造方法,因为我们使用差分操作在对原数组进行修改的过程中,实际上就可以构造出差分数组。

同一维差分,我们构造二维差分数组目的是为了 让原二维数组a中所选中子矩阵中的每一个元素加上c的操作,可以由O(n*n)的时间复杂度优化成O(1)

已知原数组a中被选中的子矩阵为 以(x1,y1)为左上角,以(x2,y2)为右下角所围成的矩形区域;

始终要记得,a数组是b数组的前缀和数组,比如对b数组的b[i][j]的修改,会影响到a数组中从a[i][j]及往后的每一个数。

假定我们已经构造好了b数组,类比一维差分,我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c

b[x1][y1] + = c ;

b[x1,][y2+1] - = c;

b[x2+1][y1] - = c;

b[x2+1][y2+1] + = c;

每次对b数组执行以上操作,等价于:

b[x1][y1] += c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2 + 1] -= c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
b[x2 + 1][y1] -= c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
b[x2 + 1][y2 + 1] += c; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c,红色内的相当于被减了两次,再加上一次c,才能使其恢复。

核心代码如下:

b[i][j] = a[i][j] − a[i − 1][j] − a[i][j − 1] + a[i −1 ][j − 1]
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;

题目练习: AcWing 798. 差分矩阵

AC代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1005;
int a[N][N], b[N][N];int main(){int n, m, q;cin >> n >> m >> q;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++) {cin >> a[i][j];b[i][j] = a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1];}}while (q--){int x1, x2, y1, y2, c;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;b[x1][y1] += c, b[x2 + 1][y2 + 1] += c;b[x1][y2 + 1] -= c, b[x2 + 1][y1] -= c;}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];cout << a[i][j] << " ";}cout << endl;}return 0;
}

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