数据结构——二叉树性质

性质1:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>1)。

这个性质很好记忆，观察一下图6-5-5。
第一层是根结点，只有一个，所以2^(1-1)=2^0=1。
第二层有两个，2^(2-1)=2=2。
第三层有四个，2^(3-1)=2^2=4。
第四层有八个，2^(4-1)=2^3=8。
通过数据归纳法的论证，可以很容易得出在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1)的结论。

性质2:深度为k的二叉树至多有2*-1个结点(k≥1)。

注意这里一定要看清楚，是2^k后再减去1,而不是2^(k-1)。
深度为k意思就是有k层的二叉树，我们先来看看简单的。
如果有一层，至多1=2^0-1个结点。
如果有二层，至多1+2=3=2^2-1个结点。
如果有三层，至多1+2+4=7=2^3-1个结点。
如果有四层，至多1+2+4+8=15=2^4-1个结点。
通过数据归纳法的论证，可以得出，如果有k层，此二叉树至多有2^k-1个结点。

性质3:对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n₀,度为2的结点数为n₂,则n₀=n₂+1。

终端结点数其实就是叶子结点数，而一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数了，我们设n₁为度是1的结点数。则树T结点总数 n=no+n₁+n₂。
比如图6-6-1的例子，结点总数为10,它是由A、B、C、D等度为2结点，F、 G、H、I、J等度为0的叶子结点和E这个度为1的结点组成。总和为4+1+5=10。

性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为Llog₂n]+1(L×)表示不大于x的最大整数)。

由满二叉树的定义我们可以知道，深度为k的满二叉树的结点数n一定是2^k-1。因为这是最多的结点个数。那么对于n=2^k-1倒推得到满二叉树的度数为k=log₂(n+1),比如结点数为15的满二叉树，度为4。
完全二叉树我们前面已经提到，它是一棵具有n个结点的二叉树，若按层序编号后其编号与同样深度的满二叉树中编号结点在二叉树中位置完全相同，那它就是完全二叉树。也就是说，它的叶子结点只会出现在最下面的两层。