【反证法】932. 漂亮数组

本文涉及知识点

分治数学反证法

LeetCode932. 漂亮数组

如果长度为 n 的数组 nums 满足下述条件，则认为该数组是一个漂亮数组：
nums 是由范围 [1, n] 的整数组成的一个排列。
对于每个 0 <= i < j < n ，均不存在下标 k（i < k < j）使得 2 * nums[k] == nums[i] + nums[j] 。
给你整数 n ，返回长度为 n 的任一漂亮数组。本题保证对于给定的 n 至少存在一个有效答案。
示例 1 ：
输入：n = 4
输出：[2,1,4,3]
示例 2 ：
输入：n = 5
输出：[3,1,2,5,4]
提示：
1 <= n <= 1000

反证法

性质一：漂亮数组A各元素乘以m(m > 0 )形成的数组B是漂亮数组。用反证法证明：
假定存在2B[k] = B[i]+B[j]，则2B[k]/m = B[i]/m + B[j]/m。即A也不是漂亮数组，与假设矛盾。
性质二：漂亮数组A各元素加上m形成数组B，也是漂亮数组。证明类似性质一。
性质三：漂亮数组Ａ删除若干元素，仍然是漂亮数组。可用反证法证明。
性质四：漂亮数组A全部是奇数，漂亮数组B全部是偶数。则A+B 也是漂亮数组。如：A = {1,3} B = {2,4},则{1,3,2,4}也是漂亮数组。下面分类讨论：
$\begin{cases} A是漂亮数组 && i,j\in A \\ B是漂亮数组 && i,j \in B \\ nums[i]+nums[j]是奇数，2 \times nums[k]是偶数，两者不会相等。 && i \in A,j \in B \\ \end{cases}$

思路

n = 1 arr1 = {1}
n = 2 arr2 = (arr1 $\times$ 2-1)+(arr1 $\times$ 2)
n=4 arr4 = (arr2 $\times$ 2-1)+(arr2 $\times$ 2)
$\cdots$
如果n 不是2的m次幂，则抛弃大于n的数。

代码

class Solution {
public:vector<int> beautifulArray(int n) {vector<int> pre = { 1 };		while (pre.size() < n) {vector<int> dp;auto Add = [&](int val) {if (val > n) { return; }dp.emplace_back(val);};for (int i = 0; i < pre.size(); i++) {Add(pre[i] * 2 - 1);}for (int i = 0; i < pre.size(); i++) {Add(pre[i] * 2 );}pre.swap(dp);}return pre;}
};

扩展阅读

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