【状态机动态规划 状态压缩】1434. 每个人戴不同帽子的方案数

本文涉及知识点

位运算、状态压缩、枚举子集汇总
动态规划汇总

LeetCode 1434. 每个人戴不同帽子的方案数

总共有 n 个人和 40 种不同的帽子，帽子编号从 1 到 40 。
给你一个整数列表的列表 hats ，其中 hats[i] 是第 i 个人所有喜欢帽子的列表。
请你给每个人安排一顶他喜欢的帽子，确保每个人戴的帽子跟别人都不一样，并返回方案数。
由于答案可能很大，请返回它对 10^9 + 7 取余后的结果。
示例 1：
输入：hats = [[3,4],[4,5],[5]]
输出：1
解释：给定条件下只有一种方法选择帽子。
第一个人选择帽子 3，第二个人选择帽子 4，最后一个人选择帽子 5。
示例 2：
输入：hats = [[3,5,1],[3,5]]
输出：4
解释：总共有 4 种安排帽子的方法：
(3,5)，(5,3)，(1,3) 和 (1,5)
示例 3：
输入：hats = [[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4]]
输出：24
解释：每个人都可以从编号为 1 到 4 的帽子中选。
(1,2,3,4) 4 个帽子的排列方案数为 24 。
示例 4：
输入：hats = [[1,2,3],[2,3,5,6],[1,3,7,9],[1,8,9],[2,5,7]]
输出：111
提示：
n == hats.length
1 <= n <= 10
1 <= hats[i].length <= 40
1 <= hats[i][j] <= 40
hats[i] 包含一个数字互不相同的整数列表。

动态规划

预处理

hatToPeo 记录 帽子被那些人喜欢。帽子和人都从0开始。

动态规划状态表示

dp’[i][j]表示处理前i个帽子，j表示那些人已经分配了帽子。(1<<x )& j 表示第x个人是否分配了帽子。
pre[j] = dp’[i][j] dp[j] = dp’[i][j]
如果不用滚动向量，时间复杂度：O(m2n)
如果记录帽子被分配的状态，空间复杂度至少是O(2m)严重超时。

动态规划的转移方程

对于每种状态，只有n+1种后置状态。任何人都不戴此帽子，枚举每个人戴帽子。单状态转移方程的时间复杂度是O(n)。
故总时间复杂度：O(m2nn)

动态规划的初始状态

pre[0][0] = 1 ，其它为0。

动态规划的填表顺序

i = 0 to m-1

动态规划的返回值

pre.back()

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int numberWays(vector<vector<int>>& hats) {const int N = hats.size();vector<vector<int>> hatToPeo(40);for (int peo = 0; peo < hats.size(); peo++) {for (const auto& hat : hats[peo]) {hatToPeo[hat - 1].emplace_back(peo);}}vector<C1097Int<>> pre(1 << N);pre[0] = 1;for (int i = 0; i < 40; i++) {auto dp = pre;//本帽子不选择	for (int j = 0; j < (1 << N); j++  ) {for (const auto& peo : hatToPeo[i]) {if (j & (1 << peo)) { continue; }dp[j | (1 << peo)] += pre[j];}}	pre.swap(dp);}return pre.back().ToInt();}
};

单元测试

template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{Assert::AreEqual(t1, t2);
}template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);}
}template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{sort(vv1.begin(), vv1.end());sort(vv2.begin(), vv2.end());Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());for (int i = 0; i < vv1.size(); i++){AssertEx(vv1[i], vv2[i]);}
}namespace UnitTest
{vector<vector<int>> hats;TEST_CLASS(UnitTest){public:TEST_METHOD(TestMethod0){hats = { {3,4},{4,5},{5} };auto res = Solution().numberWays(hats);AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod1){hats = { {3,5,1},{3,5} };auto res = Solution().numberWays(hats);AssertEx(4, res);}TEST_METHOD(TestMethod2){hats = { {1,2,3,4},{1,2,3,4},{1,2,3,4},{1,2,3,4} };auto res = Solution().numberWays(hats);AssertEx(24, res);}TEST_METHOD(TestMethod3){hats = { {1,2,3},{2,3,5,6},{1,3,7,9},{1,8,9},{2,5,7} };auto res = Solution().numberWays(hats);AssertEx(111, res);}TEST_METHOD(TestMethod4){hats = { {1,3,5,10,12,13,14,15,16,18,19,20,21,27,34,35,38,39,40},{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40},{3,7,10,12,13,14,15,17,21,25,29,31,35,40},{2,3,7,8,9,11,12,14,15,16,17,18,19,20,22,24,25,28,29,32,33,34,35,36,38},{6,12,17,20,22,26,28,30,31,32,34,35},{1,4,6,7,12,13,14,15,21,22,27,28,30,31,32,35,37,38,40},{6,12,21,25,38},{1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,34,35,36,37,38,39,40} };auto res = Solution().numberWays(hats);AssertEx(842465346, res);}};
}

扩展阅读

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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