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前言

1. 二叉搜索树的概念

2. 二叉搜索树的实现

2.1 二叉树的结构

2.2 二叉树查找

2.3 二叉树的插入和中序遍历

2.4 二叉树的删除

3. 二叉搜索树的应用

3.1 KV模型实现

3.2 应用

4. 二叉搜索树分析

总结

前言

本文将深入探讨二叉搜索树这一重要的数据结构。二叉搜索树不仅是一个功能强大的数据结构，而且在实际应用中展现出了极高的实用性。它以其独特的组织方式，使得查找、插入和删除操作都能在平均对数到线性时间内完成，从而大大提高了数据处理的效率。为了更好地理解二叉搜索树的工作原理，我们使用C++语言实现了一个简单的二叉搜索树。

1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树（Binary Search Tree），也称二叉排序树，是一种特殊的二叉树。二叉搜索树可以为空树。如果不为空树，有以下的性质：

节点的左子树只包含小于当前节点的数。
节点的右子树只包含大于当前节点的数。
左子树和右子树也都是二叉搜索树。

2. 二叉搜索树的实现

2.1 二叉树的结构

先自定义一个二叉树结点的类，该类将使用模版。一般来说，有两种类型的二叉搜索树。

K模型：K模型即只有key作为关键码，自定义结点类型中只需要存储Key即可。
KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key，Value>键值对。

下面的代码是两种模型自定义类的实现，把下面的代码放到BSTree.h文件下。分别封装到key和keyValue的命名空间中。我们先实现K模型的二叉树成员函数。再如法炮制实现第二种模型的成员函数。

#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;namespace key
{template<class K>struct BSTNode{BSTNode(const K& key = K()):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;};template<class K>class BSTree{typedef BSTNode<K> Node;//...private:Node* root;}
}namespace keyValue
{template<class K, class V>struct BSTNode{BSTNode(const K& key = K(), const V& value = V()):_key(key),_value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;};template<class K, class V>class BSTree{typedef BSTNode<K, V> Node;//...private:Node* root;}
}

2.2 二叉树查找

二叉搜索树的查找操作比较简单。

函数的返回值是个布尔值。查找成功返回true，失败返回false。
从根开始比较关键码，进行查找。如果关键码比根的大往右边查找，比根的小就往左边查找。
最多会查找这颗二叉树的高度次，如果走到空，说明这个值不存在。

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;//如果为空，说明这个值不存在while (cur){//比较关键值大小if (cur->_key < key){cur = cur->right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->left;}else{return true;}}return false;
}

2.3 二叉树的插入和中序遍历

int arr[] = {11, 7, 18, 9, 14, 4, 23, 8, 16, 10};

二叉树的插入操作其实步骤根查找类似，插入具体过程如下：

函数的返回值也是布尔值。插入成功返回true，插入失败返回false。
如果树为空，直接使用new创建新结点，赋值给root指针。
如果树不为空，使用while循环查找新结点的位置，如果找到某个节点存储的值，与插入的值相同，就不需要插入，返回false。此外，还要新定义一个二叉树结点类值，此值用来存储当前结点的父亲结点。因为需要判断新增结点是他的父亲结点左节点还是右节点。

bool Insert(const K& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;
}

二叉搜索树可以通过中序遍历得到有序的数据。在类中，定义一个中序遍历的子函数，再传入这棵树的根，进行遍历打印即可。

class BSTree
{//...
public://...void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;
};

我们写一个测试函数，测试一下插入函数。

#include "BSTree.h"void Test1()
{int arr[] = { 11, 7, 18, 9, 14, 4, 23, 8, 16, 10 };key::BSTree<int> tree;for (auto& e : arr){tree.Insert(e);}tree.InOrder();tree.Insert(2);tree.Insert(13);tree.InOrder();
}

运行结果如下：

2.4 二叉树的删除

二叉树的删除操作就有些麻烦。需要分几种情况：

待删除结点没有孩子结点。
待删除结点有一个孩子结点。
待删除结点有左右孩子结点。

待删除结点没有孩子结点，可以直接释放该节点，使其父亲结点指向空即可。

待删除结点只有一个孩子结点。如下图，14结点有一个右孩子，左孩子为空。先释放14结点，再将其父亲结点的左指针指向16结点即可。如果待删除结点有一个左孩子，操作也是类似。

不过这个有极端情况，如下面的第二张图，如果要删除的是根节点，并且根节点只有左孩子或者右孩子。此时，因为根结点没有父亲结点，所以直接释放根结点，让root指针指向他的孩子结点。

待删除结点有两个孩子结点的情况，就比较麻烦。如下图，思路是找到可以替换的结点，待删除结点的key值替换成该节点的key值，然后再释放这个替换结点，处理结点之间的连接关系。

第一步需要查找待删除结点，如果没有找到，返回false。找到待删除结点，进行删除操作。
待删除结点的左子树中的最右结点，是左子树中最大的结点，待删除结点的右子树中的最左结点是右子树中最小的结点。我们使用右子树中最左结点来替换待删除结点。
我们先定义一个rightMin结点指针变量，用来找右子树中最小的结点，定义一个rightMinP来记录rightMin指向结点的父亲结点。
其中rightMin一开始指向待删除结点的右孩子。rightMinP需要指向待删除节点，看第二张图片，如果右子树的最小结点就是待删除结点的右孩子，rightMInP不指向待删除节点，而是指向空，那么我们使用rightMinP这个空指针进行操作会有问题。

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){    //查找待删除结点if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else//删除操作{    // 0-1孩子if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr)//删除根节点的情况{_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr)//删除根节点的情况{_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{//两个孩子的情况// 右子树的最小节点作为替代节点Node* rightMinP = cur;//不可为空，特殊情况会访问空指针Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;//需要判断右子树最小节点是父亲结点的左孩子还是右孩子if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;
}

我们写一个测试函数，测试一些删除函数的功能：

void Test2()
{int arr[] = { 11, 7, 18, 9, 14, 4, 23, 8, 16, 10 };key::BSTree<int> tree;for (auto& e : arr){tree.Insert(e);}tree.InOrder();for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(int); i++){printf("第%-2d次:", i + 1);tree.Erase(arr[i]);tree.InOrder();}
}

运行结果如下：

3. 二叉搜索树的应用

3.1 KV模型实现

上文有提到二叉搜索树有两种模型，其中在现实生活中比较常用的是KV模型。每个关键码key，都有对应的的值Value，即<Key，Value>键值对。

下面是KV模型的代码实现：

namespace keyValue
{template<class K, class V>struct BSTNode{BSTNode(const K& key = K(), const V& value = V()):_key(key),_value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;};template<class K, class V>class BSTree{typedef BSTNode<K, V> Node;public:BSTree() = default;BSTree(const BSTree<K, V>& t){_root = Copy(t._root);}~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 0-1孩子if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{// 两个孩子的情况// 右子树的最小节点作为替代节点Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;cur->_value = rightMin->_value;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << " ";_InOrder(root->_right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};
};

3.2 应用

二叉搜索树KV模型的应用有许多

最经典的就是双语词典，英汉词典中，每个英文都有对应的中文，构成<word, chinese>键值对。
中国公民每个人都有对象的身份证号码，即<中国人，身份证号码>键值对。
还可以用来统计词语出现的次数，词语和其出现的次数就构成<word，count>键值对。

void TestBsTree3()
{keyValue::BSTree<string, string> dict;dict.Insert("left", "左边");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("apple", "苹果");dict.Insert("sort", "排序");dict.Insert("love", "爱");string str;while (cin >> str){auto ret = dict.Find(str);if (ret){cout << "->" << ret->_value << endl;}else{cout << "重新输入" << endl;}}
}

运行结果如下：

这是统计词语出现次数

void TestBSTree4()
{// 统计物品出现的次数string arr[] = { "书本", "笔", "书本", "笔", "书本", "书本", "笔", "书本", "橡皮", "书本", "橡皮" };keyValue::BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr){// 先查找物品在不在搜索树中// 1、不在，说明物品第一次出现，则插入<物品, 1>// 2、在，则查找到的节点中水果对应的次数++auto ret = countTree.Find(str);if (ret == NULL)countTree.Insert(str, 1);elseret->_value++;}countTree.InOrder();
}

运行结果如下：