二叉搜索树

概念

1. 二叉搜索树：又称为二叉排序树或者二叉查找树，走中序遍历(左、根、右）打印二叉搜索树值为升序。
2. 它可以空树。若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于它的根节点的值。若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于它的根节点的值。它的左右子树也分别为二叉搜索树。

操作实现

创建树形结构

template<class K>
struct BSTreeNode {   //二叉树的节点typedef BSTreeNode<K> Node;Node* _left;K _key;Node* _right;BSTreeNode(const K& key)  //构造函数:_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){}
};template<class K>
class BSTree {  //二叉树结构private:Node* _root = nullptr;
};

拷贝构造函数

BSTree(const BSTree<K>& t) //拷贝构造函数也是构造函数，写了拷贝构造，相当于显示写了构造，不能调默认构造
{/*Node* cur = t._root;  不能采用insert，因为cur不知道是往哪边走，走错了，树形结构会改变，不走，就死循环了while (cur){Insert(cur->_key);}*/_root = CopyNode(t._root);   //后序拷贝节点进行赋值
}Node* CopyNode(Node* root) //前序拷贝节点进行赋值
{if (root == nullptr) //递归的结束条件，满足，就会回退return nullptr;Node* newnode = new Node(root->_key);newnode->_left = CopyNode(root->_left); //递推newnode->_right = CopyNode(root->_right);return newnode;
}

• 拷贝构造函数不显示写，内置类型为值拷贝，自定义类型会去调用它自己的拷贝构造函数，BSTreet2(t1)，不显示写拷贝构造，则t2和t1的_root指向同一块空间，若未显示写析构函数，程序不会崩溃，因为_root为Node*内置类型，最后由系统自动回收。若显示写析构函数，delete-》析构函数+free，会导致同一块空间被释放两次，造成程序崩溃。
• 此处不能调用insert函数，因为cur不知道该往哪边走，走右边，会导致树形结构发生改变，就不是二叉搜索树了，走左边，走到空的时候，无法回退到上一个节点的右边。
• 采用前序遍历(左、根、右），依次取t2对象中的节点，进行深拷贝。
  

构造函数

BSTree() = default;  //强制生成默认构造

• BSTree t，编译器会去调用它的默认构造函数，若显示写了构造函数，编译器就不会自动生成默认构造函数，会导致编译器报错。拷贝构造函数是特殊的构造函数。
• 注意：BSTree() = default，强制生成默认构造。
  

析构函数

~BSTree() //析构
{Destroy(_root); 
}void Destroy(Node* root)  //销毁树 
{if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left); //后序遍历Destroy(root->_right);delete root;root = nullptr;
}

赋值运算符重载

BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t) //赋值运算符{std:: swap(_root, t._root);return *this;}

循环版本

查找

//非递归版本bool Find(const K& key)  //查找{Node* cur = _root;  //遍历二叉树while (cur){if (key > cur->_key)  //查找的值比根节点值大，往右进行查找cur = cur->_right;else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找cur = cur->_left;else    //查找到了return true;}return false;  //查找不到或者空树}

• a. 从根节点开始查找，比较，比根节点的值大，则往右边查找，比根节点的值小，则往左边查找，
• b.最多查找高度次。走到了空，这个值还没找到，这个值就不存在，则返回false。找到了就返回true。

插入

bool Insert(const K& key){Node* parent = nullptr;  //记录好新增节点在二叉树中的父节点Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key)  //查找的值比根节点值大，往右进行查找{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找{parent = cur;cur = cur->_left;}elsereturn false;   //二叉搜索数中不运行出现同值，否则构成不了二叉搜素树}//new:开空间+构造函数cur = new Node(key);  //创建新节点，但此时cur值为随机值，cur为局部遍历，出了作用域就被销毁，若之后没有处理cur，会造成内存泄漏if (parent == nullptr)  //空树{_root = cur;return true;}if (parent->_key > key)  //新节点的链接parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;return true;}

• a.树为空，直接将赋值给_root。
• b.树不为空，从根节点查找，比较，比根节点的值大，则往右边查找，比根节点的值小，则往左边查找，直到走到了空，在进行插入。
• 注意：此处需要记录插入节点在二叉搜索树的父节点，因为cur = new Node(key)，会改变cur的值，cur此时不在是二叉树中的节点，cur为局部变量，出了作用域要销毁，则cur指向的那块空间无法找到，会造成内存泄漏，所以需要将其与父节点进行链接。

删除

//叶子节点(无孩纸)、有一个孩纸—》将孩纸托付给父亲。 有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树的最左边节点值它的左节点一定为空）与它进行替换，转换成删别人bool erase(const K& key)  //删除{Node* parent = _root; //记录删除节点 或者 替换节点的父亲Node* cur = _root; while (cur){if (key > cur->_key)  //查找的值比根节点值大，往右进行查找{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找{parent = cur;cur = cur->_left;}else  //找到了，进行删除{if (cur->_left == nullptr) //右边有一个孩纸{if (cur == _root) //删除根节点，需要换头_root = cur->_right;if (parent->_left == cur) //删除节点在根节点的左右子树，链接父节点的方式也不同parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;delete cur;  cur = nullptr;return true;}else if (cur->_right == nullptr) {if (cur == _root) _root = cur->_left;if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;delete cur;cur = nullptr;return true;}else   //左右有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树中最右节点(它的左节点一定为空）{Node* rightmin = cur->_right;while (rightmin->_left)rightmin = rightmin->_left;cur->_key = rightmin->_key; //值进行替换if (parent->_right == rightmin) //删除节点可能在不同边，与父亲链接的情况也不同parent->_right = rightmin->_right;elseparent->_left = rightmin->_right;delete rightmin;rightmin = nullptr;return true;}}}return false;}

• a.删除的节点有三种情况：叶子节点(无孩纸）、有一个孩纸(只有左孩纸或者只有右孩纸）、有两个孩纸。
• b.叶子节点、有一个孩纸：将孩纸托付给父亲。
• c.有两个孩纸：替换法删除，找它的右子树的最左边节点(它的左树一定为空)的值与它进行替换，转换成删替换节点了。

特殊情况：1.无孩纸节点、只有一个孩纸节点：删除根节点，此时需要换头，让root的下一个孩纸的节点。 2.只有一个孩纸节点：将孩子托付给父亲，孩纸和父亲的左边或者右边链接都可能，要分类讨论删除的节点在父节点的哪边，删除节点在父节点的哪边，孩纸就链接到哪边 。 3.两个孩纸节点：找最右节点rightmin，rightmin右孩子与父节点的左边或者右边都可能链接，要分类讨论rightmin在父节点的哪边，rightmin在父节点的哪边，rightmin右孩子孩纸就链接到哪边。

递归版本

• 二叉搜索树的操作因为要从根开始操作，所以在调用递归函数时，就需传递_root，但在类外不能访问私有成员_root， 解决方法：a. 通过创造Node* Getroot()成员函数(public)返回root，类外根据返回值直接传参调用递归函数。 b. 将递归函数封装在无参成员函数(public)中，类外调用无参函数，从而间接调用递归函数。
  

查找

void FindR(const K& key)  
{_FindR(_root, key); //查找
}bool _FindR(Node* root, const K& key)
{if (root == nullptr)  //查找不到 或 空树return false;if (key > root->_key)  //查找的值比根节点值大，去右子树查找return _FindR(root->_right);else if (key < root->_key) //查找的值比根节点值小，去左子树查找return _FindR(root->_left);else   //找到了return true;
}

插入

bool _InsertR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr)  //进行插入{root = new Node(key);  //因为root为父亲孩纸的别名，直接就将父亲和新节点链接起来了return true;}if (key > root->_key)  //查找的值比根节点值大，去右子树查找return _InsertR(root->_right, key);else if (key < root->_key) //查找的值比根节点值小，去左子树查找return _InsertR(root->_left, key);else   //二叉搜索数中不运行出现同值，否则构成不了二叉搜素树return false;}

删除

bool _EraseR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr)return false;if (key > root->_key)  //查找的值比根节点值大，去右子树查找return _EraseR(root->_right, key);else if (key < root->_key) //查找的值比根节点值小，去左子树查找return _EraseR(root->_left, key);else   //找到了，进行删除{Node* del = root;  //记录删除的节点，防止父子链接时，该节点会被丢失if (root->_left == nullptr) //右边有一个孩纸root = root->_right;else if (root->_right == nullptr)root = root->_left;else   //左右有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树中最右节点(它的左节点一定为空）{Node* rightmin = root->_right;  //不能加引用，因为引用不能改变转向，否则会导致树的结构发生改变while (rightmin->_left)rightmin = rightmin->_left;swap(root->_key, rightmin->_key); //值进行替换return _EraseR(root->_right, key);}delete del;del = nullptr;return true;}}

应用

K模型

K模型：只有key作为关键码，结构中只需要存储Key。关键码即需要搜索key存不存在。

• eg：小区车库，搜索车牌是否存在于小区车库体系中，控制车的进出。判断单词是拼写正确，搜索单词是否存在于单词库中。
  

KV模型

KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的value，即<key, value>的键值对。

• eg：统计单词的个数，<word，count>。英汉词典，<English，chinese>。
• KV模型相比于K模型，只是在插入时多插入了value值，删除、查找都是对key进行操作，操作中的比较也是按key的值进行比较的。K模型类似于单身，KV模型类似于结婚。

#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;template<class K, class V>  //KV模型
struct BSTreeNode {   //二叉树的节点typedef BSTreeNode<K, V> Node;Node* _left;K _key;V _value;Node* _right;BSTreeNode(const K& key,const V& value)  //构造函数:_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key),_value(value){ }
};template<class K, class V>
class BSTree {  //二叉树结构
public:typedef BSTreeNode<K, V> Node;~BSTree() //析构{Destroy(_root);}BSTree() = default;  //强制生成默认构造BSTree(const BSTree<K, V>& t) //拷贝构造函数也是构造函数，写了拷贝构造，相当于显示写了构造，不能调默认构造{  /*Node* cur = t._root;  不能采用insert，因为cur不知道是往哪边走，走错了，树形结构会改变，不走，就死循环了while (cur){Insert(cur->_key);}*/_root = CopyNode(t._root);   //前序拷贝节点进行赋值}BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t) //赋值运算符{std:: swap(_root, t._root);return *this;}Node* Find(const K& key)  //查找 {Node* cur = _root;  //遍历二叉树while (cur){if (key > cur->_key)  //查找的值比根节点值大，往右进行查找cur = cur->_right;else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找cur = cur->_left;else    //查找到了 return cur;  //注意：返回节点的指针，目的—》通过key查找到value}return nullptr;  //查找不到或者空树}bool Insert(const K& key, const V& value)  //插入{Node* parent = nullptr;  //记录好新增节点在二叉树中的父节点Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key)  //查找的值比根节点值大，往右进行查找{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找{parent = cur;cur = cur->_left;}elsereturn false;   //二叉搜索数中不运行出现同值，否则构成不了二叉搜素树}//new:开空间+构造函数cur = new Node(key, value);  //创建新节点，但此时cur值为随机值，cur为局部遍历，出了作用域就被销毁，若之后没有处理cur，会造成内存泄漏if (parent == nullptr)  //空树{_root = cur;return true;}if (parent->_key > key)  //新节点的链接parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;return true;}//叶子节点(无孩纸)、有一个孩纸—》将孩纸托付给父亲。 有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树的最左边节点值它的左节点一定为空）与它进行替换，转换成删别人bool erase(const K& key)  //删除{Node* parent = _root; //记录删除节点 或者 替换节点的父亲Node* cur = _root; while (cur){if (key > cur->_key)  //查找的值比根节点值大，往右进行查找{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找{parent = cur;cur = cur->_left;}else  //找到了，进行删除{if (cur->_left == nullptr) //右边有一个孩纸{if (cur == _root) //删除根节点，需要换头_root = cur->_right;if (parent->_left == cur) //删除节点在根节点的左右子树，链接父节点的方式也不同parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;delete cur;  cur = nullptr;return true;}else if (cur->_right == nullptr) {if (cur == _root) _root = cur->_left;if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;delete cur;cur = nullptr;return true;}else   //左右有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树中最右节点(它的左节点一定为空）{Node* rightmin = cur->_right;while (rightmin->_left)rightmin = rightmin->_left;cur->_key = rightmin->_key; //值进行替换if (parent->_right == rightmin) //删除节点可能在不同边，与父亲链接的情况也不同parent->_right = rightmin->_right;elseparent->_left = rightmin->_right;delete rightmin;rightmin = nullptr;return true;}}}return false;}void InorderKV()   //KV模型打印{_InorderKV(_root);cout << endl;}private:void _InorderKV(Node* root)   //KV模型打印{if (root == nullptr)return;_InorderKV(root->_left);cout << root->_key << ' ' << root->_value << endl;_InorderKV(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

oid test5()  //kv模型-》查找单词的个数
{ BSTree<string, int> t;string s[] = { "苹果", "香蕉", "葡萄","梨子","苹果","苹果","香蕉","苹果" };for (auto& e : s){auto it = t.Find(e); if (it)it->_value += 1;elset.Insert(e, 1);}t.InorderKV(); //KV模型打印
}int main()
{test5();return 0;
}

void test6()  //kv模型-》英汉词典
{BSTree<string, string> dict;dict.Insert("see", "看");dict.Insert("eat", "吃");dict.Insert("left", "左");string str;while (cin >> str){auto it = dict.Find(str);if (it)cout << "中文翻译: " << it->_value << endl;elsecout << "单词不存在" << endl;}
}

• 相较于K模型，改动的地方为Insert(key, value)、Node* Find(root, key)（返回节点的指针，目的—》通过key查找到value）。
  

性能分析

• 最优情况：为完全二叉树 或 满二叉树时，O(n) = longn 。
• 最坏情况：为单支树时，O(n) = n = 高度。
  

二叉树进阶面试题

二叉树创建字符串

https://leetcode.cn/problems/construct-string-from-binary-tree/

class Solution {
public:string tree2str(TreeNode* root) {if(root == nullptr) //空树return "";//to_string 整形转字符串string ret = to_string(root->val);  //第一个根节点不需要加左括号//左括号存在的条件：左子树不为空、右子树不为空if(root->left || root->right){ret += "(";ret += tree2str(root->left);ret += ")";}//右括号存在的条件：右子树不为空if(root->right){ret += "(";ret += tree2str(root->right);ret += ")";}return ret;}
};

二叉树的分层遍历I

https://leetcode.cn/problems/binary-tree-level-order-traversal/

class Solution {
public:vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {vector<vector<int>> ret;int levesize = 0; //每层元素个数queue<TreeNode*> q; //队列，先进先出if(root) //第一个元素需要先入队列{q.push(root);levesize = 1;}while(!q.empty()){vector<int> v;while(levesize--)  //上一层出完，下一层的所有元素一定全部入队{TreeNode* tmp = q.front();q.pop();v.push_back(tmp->val);if(tmp->left)  q.push(tmp->left);if(tmp->right)q.push(tmp->right);}levesize = q.size();ret.push_back(v);}return ret;}
};

最近公共祖先

https://leetcode.cn/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree/

/*最近公共祖先：1.一个为它的左子树、另一个为它的右子树。2.一个在它的子树中。最坏情况：O(n^2)*/
class Solution {
public:bool InTree(TreeNode* root, TreeNode* x) //判断是否在该节点的子树中{if(root == nullptr)return false;return root == x || InTree(root->left, x) || InTree(root->right, x);}TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {if(root == nullptr)  //空树return nullptr;if(p == root || q == root) //2return root;bool pInleft, pInright, qInleft, qInright;pInleft = InTree(root->left, p);pInright = !pInleft;   //qInleft = InTree(root->left, q);qInright = !qInleft;if(pInleft && qInright || pInright && qInleft) //1return root;if(pInleft && qInleft) //都在左子树中，去左子树中进行查找return lowestCommonAncestor(root->left, p ,q);if(pInright && qInright)  //都在右子树中，去右子树中进行查找return lowestCommonAncestor(root->right, p, q);return nullptr;}
};

二叉搜索树与双向链表

https://www.nowcoder.com/share/jump/3163217841710348438605

class Solution {  //以中序遍历的方式，进行中序的创建
public:void _Convert(TreeNode* cur, TreeNode*& prev) //引用：变量在当前当栈帧的值，在其他栈帧仍保留{if(cur == nullptr) return ;_Convert(cur->left, prev); //左if(prev){   cur->left = prev; //当前节点的左指向前一个prev->right = cur; //前一个节点的右指向当前节点}prev = cur;  _Convert(cur->right, prev);  //右}TreeNode* Convert(TreeNode* pRootOfTree) {if(pRootOfTree == nullptr)return nullptr;TreeNode* prev = nullptr;_Convert(pRootOfTree, prev);while(pRootOfTree->left){pRootOfTree = pRootOfTree->left;}return pRootOfTree;}
};

前序遍历与中序遍历构造二叉树

https://leetcode.cn/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/

//当前问题，划分子问题：前序确定根，中序划分左右区间；返回条件：左右区间不存在就是空树
class Solution {
public:   //index为引用，用于创建跟TreeNode* _buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder, int& index, int begin, int end){if(begin > end)  //无左、右子树-》空树return nullptr; TreeNode* root = new TreeNode(preorder[index++]); //前序确定根-》创建根int rooti = begin;  //中序确定左右区间while(rooti <= end){if(inorder[rooti] == root->val)break;elserooti++;}//(左子树)[begin, roooti - 1] 、(当前节点)rooti、(右子树)[rooti + 1, end]root->left = _buildTree(preorder, inorder, index, begin, rooti - 1); root->right = _buildTree(preorder, inorder, index, rooti + 1, end); return root;}TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {int index = 0;TreeNode* root = _buildTree(preorder, inorder, index, 0, inorder.size() - 1);return root;}
};

中序遍历与后序遍历构造二叉树

https://leetcode.cn/problems/construct-binary-tree-from-inorder-and-postorder-traversal/

//中序(左、根、右):划分左右区间，后序(左、右、根)：从后往前依次是根、右子树的根、左子树的根
class Solution {
public:TreeNode* _bulidTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder, int& prev, int begin, int end){if(begin > end)  //区间不存在，空树return nullptr;TreeNode* root = new TreeNode(postorder[prev--]); int rooti = begin;while(rooti <= end){if(inorder[rooti] == root->val)break;elserooti++;}root->right = _bulidTree(inorder, postorder, prev, rooti + 1, end); root->left = _bulidTree(inorder, postorder, prev, begin, rooti - 1);return root;}TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {int prev = postorder.size() - 1;TreeNode* root = _bulidTree(inorder, postorder, prev, 0, inorder.size() - 1);return root;}
};

二叉树的前序遍历(非递归)

https://leetcode.cn/problems/binary-tree-preorder-traversal/

class Solution {
/*前序遍历(根、左、右)：当前问题：访问左路节点(根、左)，子问题：访问左路节点的右子树(右)
结束条件：左路节点的右树全部访问完*/
public:vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {vector<int> v;  stack<TreeNode*> st;  //存储左路节点，栈中有剩余表示还有节点的右子树未访问TreeNode* cur = root;  //cur指向谁，表示访问那棵树的开始while(cur || !st.empty()) //结束条件，二者缺一不可{while(cur)  //访问左路节点{v.push_back(cur->val); //入栈前先"访问"根st.push(cur);cur = cur->left;}TreeNode* tmp = st.top(); st.pop();cur = tmp->right;  //访问左路节点的右子树——子问题}return v;}
};

二叉树的中序遍历(非递归)

https://leetcode.cn/problems/binary-tree-inorder-traversal/

//与前序遍历相同，唯一不同的是：根在出栈后进行存储
class Solution {
public:vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {vector<int> v;stack<TreeNode*> st;TreeNode* cur = root;while(cur || !st.empty()){while(cur){st.push(cur);cur = cur->left;}TreeNode* tmp = st.top();st.pop();v.push_back(tmp->val);cur = tmp->right;}return v;}
};

二叉树的后序遍历(非递归)

https://leetcode.cn/problems/binary-tree-postorder-traversal/

class Solution {
public:vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {vector<int> v;stack<TreeNode*> st;  TreeNode* cur = root;TreeNode* prev = nullptr; //记录被访问的前一个节点while(cur || !st.empty()){while(cur) //访问左路节点{st.push(cur);cur = cur->left;}TreeNode* tmp = st.top(); //表示tmp节点的左子树已经访问完了/*1.当前节点的右子树为空 或者 当前节点的右子树为上一个被访问的节点2.否则，就子问题访问当前节点的右子树*/if(tmp->right == nullptr || prev == tmp->right){st.pop();v.push_back(tmp->val);prev = tmp;}else  {cur = tmp->right;}/*注意：else不能省略，结果有误，因为根节点是最后进行删除的，若此时根节点已经删除，cur=tmp->right,尽管栈已经pop为空栈了，但只是删除了树节点的指针，树的结点仍存在，导致继续访问2、3，直到cur为空，最终结果就为[3, 2, 1, 3, 1]*/}return v;}
};