【自用】【高昆轮概率论与数理统计笔记】2.1 分布函数的概念与性质

不定期更新，前面的章节会在学完后补回来，重新学学概率，当年考研考的数学二，没有概率基础，想自己补补，视频课是高昆轮老师讲的浙大四版概率论教材的视频课，地址：
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2.1 分布函数的概念与性质

2.1.1 随机变量（了解）

取值会随机而定的量叫作随机变量。
比如投篮，投中记为1，投不中记为0：
${X=1\}$ 为投中；
${X=0\}$ 为投不中。
还有射击射中射不中等……，可以把若干个不同的试验抽象出来，都能写成1，0的形式，1表示成功，0表示失败，把若干种不同古典概型抽象出来，写成同一种结构。
随机变量一般写成大写字母 $X, Y, Z$ 或者写成希腊字母 $\xi, \eta ,\gamma$ ，引入随机变量，我们就能把古典概型描述成函数的关系 $X$ 取1,2,…，有了这种函数的关系就可以做积分，做求导的运算，用微积分来研究。
随机变量的引人,使我们能用随机变量来描述各种随机现象,并能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论。

2.1.2 分布函数的定义及性质

定义：
$F(x)=P\{X \leq x\},-\infty<x<+\infty .$
（函数 $F (x)$ 是分布函数，它就是一个概率，它是随机变量 $X$ 取值不超过实数 $x$ 这个事件的概率，它的定义域是 $x\in (-\infty,+\infty)$ ）

性质（充要条件）：
（1）规范性： $F(-\infty)=0, F(+\infty)=1$ ；

【注】

$F(-\infty)=P\{X\leqslant-\infty\}\stackrel{\text { 不可能事件 }}{=}P(\emptyset )=0$ ，因为任何一个数（实数）都不能比负无穷小；
$F(+\infty)=P\{X\leqslant+\infty\}\stackrel{\text { 必然事件 }}{=}P(\Omega )=0$ ，因为任何一个数（实数）都比正无穷小

（2）右连续： $F (x) = F (x + 0)$ ；

【注】所谓右连续就是指该点的右极限等于该点的函数值，分布函数只能保证右连续，左边连续不连续是不一定的，有的左连续，有的左侧不连续。
【注】 $F (x - 0)$ 是 $F (x)$ 在 $x$ 点的左极限， $F (x + 0)$ 是 $F (x)$ 在 $x$ 点的右极限。

（3）单调不减性： $\forall x_{1}<x_{2}$ ，都有 $F(x_{1})\leqslant F(x_{2})$ .

【注】如图所示：

2.1.3 利用分布函数求概率

$P\{X \leqslant a\}=F(a)$
$P\{X<a\}=F(a-0)$ （左极限）
$P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)$
$P\{a<X \leqslant b\}=P\{X \leqslant b\}-P\{X \leqslant a\}=F(b)-F(a)$

【注】左侧是开的，扣除区间左侧端点 $a$ ，所以把区间左侧端点包含 $a$ 的部分减掉，即 $\leqslant a$ ；右侧是闭的，包括区间右侧端点 $b$ ，即 $\leqslant b$ ，然后根据前三个公式代入。

$P\{a\leqslant X < b\}=P\{X < b\}-P\{X < a\}=F(b-0)-F(a-0)$

【注】左侧是闭的，包括区间左侧端点 $a$ ，所以把区间左侧端点 $a$ 的左侧的区间（不包含 $a$ ） $X < a$ 减掉；右侧是开的，扣除区间右侧端点 $b$ ，即 $X < b$ ，然后根据前三个公式代入。

$P\{a\leqslant X \leqslant b\}=P\{X \leqslant b\}-P\{X < a\}=F(b)-F(a-0)$

【注】左侧是闭的，包括区间左侧端点 $a$ ，所以把区间左侧端点 $a$ 的左侧的区间（不包含 $a$ ） $X < a$ 减掉；右侧是闭的，包括区间右侧端点 $b$ ，即 $\leqslant b$ ，然后根据前三个公式代入。

$P\{a< X < b\}=P\{X < b\}-P\{X \leqslant a\}=F(b-0)-F(a)$

【注】左侧是开的，扣除区间左侧端点 $a$ ，所以把区间左侧端点包含 $a$ 的部分减掉，即 $\leqslant a$ ；右侧是开的，扣除区间右侧端点 $b$ ，即 $X < b$ ，然后根据前三个公式代入

【总结】如果是求一段区间的概率，假设区间左侧端点为 $a$ ，区间右侧端点为 $b$ ，则用分布函数求概率的时候：

如果区间右侧能取到端点（右闭），则被减数为 $P\{X \leqslant b\}=F(b)$ ，如果区间右侧不能取到端点（右开），则被减数为 $P\{X < b\}=F(b-0)$
如果区间左侧能取到端点（左闭），则减数为 $P\{X < a\}=F(a-0)$ ，如果区间左侧不能取到端点（左开），则减数为 $P\{X \leqslant a\}=F(a)$
也可以简记为被减数的随机变量范围是否取得等号和区间右侧是否取得等号一致，减数的随机变量范围是否取得等号和区间左侧是否取得等号相反。

【注】在求数a减b的差时，a叫做被减数，b叫做减数。

【2010，4分】设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0, & x<0 \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x<1 \\ 1-e^{-x}, & x \geq 1 \end{array}\right.$ ，则 $P\{X=1\}=$ .
(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{1}{2}-e^{-1}$
(D) $1-e^{-1}$
【答】 $P\{X=1\}=F(1)-F(1-0)=1-e^{-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-e^{-1}$ ，故选(C)
【推广】在此题基础上求 $P\{0< X \leqslant 1\}$ ， $P\{0\leqslant X < 1\}$ ， $P\{0\leqslant X \leqslant 1\}$ 和 $P\{0< X < 1\}$ .
【答】
$P\{0< X \leqslant 1\}=P\{X\leqslant 1\}-P\{X\leqslant 0\}=F(1)-F(0)=1-e^{-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-e^{-1}$
$P\{0\leqslant X < 1\}=P\{X< 1\}-P\{X< 0\}=F(1-0)-F(0-0)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$
$P\{0\leqslant X \leqslant 1\} = P\{X\leqslant 1\}-P\{X< 0\}=F(1)-F(0-0)=1-e^{-1}-0=1-e^{-1}$
$P\{0< X < 1\}=P\{X< 1\}-P\{X\leqslant 0\}=F(1-0)-F(0)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

【例1】设 $F_{1}(x),F_{2}(x)$ 是分布函数，又 $a, b$ 是两个正数，且 $a + b = 1$ ，证明： $F(x)=a F_{1}(x)+b F_{2}(x)$ 也是一个分布函数。
【分析】一个函数若是分布函数，满足规范性： $F(-\infty)=0, F(+\infty)=1$ ；右连续 $F (x) = F (x + 0)$ ；单调不减性 $\forall x_{1}<x_{2}$ ，都有 $F(x_{1})\leqslant F(x_{2})$ .
【证】由于 $F_{1}(x),F_{2}(x)$ 是分布函数，则它们满足分布函数的三个性质。
先证规范性， $F(+\infty)=aF_{1}(+\infty)+b F_{2}(+\infty)=a+b=1$ ，
$F(-\infty)=aF_{1}(-\infty)+b F_{2}(-\infty)=0+0=0$ ，规范性成立。
再证右连续，由于 $F_{1}(x),F_{2}(x)$ 右连续，则 $F(x)=a F_{1}(x)+b F_{2}(x)$ 也是右连续（见注）。
最后证单调不减性： $\forall x_{1}<x_{2}$ ，都有 $F_{1}(x_{1})\leqslant F_{1}(x_{2})$ ， $F_{2}(x_{1})\leqslant F_{2}(x_{2})$ ，
由于 $a, b$ 是两个正数，则
$aF_{1}(x_{1})\leqslant aF_{1}(x_{2})$ ， $bF_{2}(x_{1})\leqslant bF_{2}(x_{2})$ ,
即 $F(x_{1})=a F_{1}(x_{1})+b F_{2}(x_{1})\leqslant a F_{1}(x_{2})+b F_{2}(x_{2})=F(x_{2})$ ，亦即 $F(x_{1})\leqslant F(x_{2})$ .
则 $F(x)=a F_{1}(x)+b F_{2}(x)$ 也是一个分布函数，证毕。

【注】定理（连续函数的四则运算）：设函数 $f (x), g (x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，则 $f(x)\pm g(x)$ ， $f (x) g (x)$ ， $c f (x)$ （ $c$ 为常数)以及 $\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)\ne 0)$ 在点 $x_{0}$ 处连续。

【例2】（教材第3节例1）设随机变量 $X$ 的分布律为：

$X$	$- 1$	$2$	$3$
$p_{k}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

求 $X$ 的分布函数，并求 $P\{X\leqslant\frac{1}{2}\}$ ， $P\{\frac{3}{2}<X\leqslant\frac{5}{2}\}$ ， $P\{2\leqslant X\leqslant3\}$ .
【答】由于 $F(x)=P\{X\leqslant x\},x\in (-\infty, +\infty )$
当 $x < - 1$ 时， $F(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{\emptyset \}=0$

【注1】此时 $X$ 最小就是 $- 1$ ，由于 $X\leqslant x$ ，则 $X\leqslant x< -1$ 是不可能事件

当 $-1\leqslant x< 2$ 时， $F(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X=-1 \}=\frac{1}{4}$

【注2】由于 $X\leqslant x$ ，则 $X$ 比 $x\in[-1,2)$ 这个区间上的数小，即区间内部的数可能满足，区间左侧的数也能满足，也就是 $X < x < 2$ 。当 $X < - 1$ 的时候，根据 $x\geqslant -1$ 则肯定也有 $x\geqslant-1> X$ ；当 $-1\leqslant X< 2$ 的时候，有 $-1\leqslant X \leqslant x< 2$ ，两个范围都满足，取并集，则最终 $X$ 的范围是 $X < 2$ ，则 $X < 2$ 内只有 $X = - 1$

当 $2\leqslant x< 3$ 时， $F(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X=-1 \}+P\{X=2 \}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$

【注3】由于 $X\leqslant x$ ，仿照注2，则 $X$ 比 $x\in[2,3)$ 这个区间上的数小，即区间内部的数可能满足，区间左侧的数也能满足，也就是 $X < x < 3$ 。当 $X < 2$ 的时候，根据 $x\geqslant 2$ 则肯定也有 $x\geqslant2> X$ ；当 $2\leqslant X< 3$ 的时候，有 $2\leqslant X \leqslant x< 3$ ，两个范围都满足，取并集，则最终 $X$ 的范围是 $X < 3$ ，则 $X < 3$ 内有 $X = - 1$ 和 $X = 2$

当 $x\geqslant3$ 时， $F(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{\Omega \}=1$

【注4】由于 $X\leqslant x$ ，仿照注2，则 $X$ 比 $x\in[3,+\infty )$ 这个区间上的数小，也就是 $X<x<+\infty$ ，当 $X < 3$ 的时候，根据 $x\geqslant 3$ 则肯定也有 $x\geqslant 3>X$ ，当 $3\leqslant X< +\infty$ 的时候，有 $3\leqslant X \leqslant x< +\infty$ ，两个范围都满足，取并集，则最终 $X$ 的范围是 $X<+\infty$ ，则 $X<+\infty$ 内有 $X = - 1$ ， $X = 2$ 和 $X = 3$ ，也可以这样理解， $X$ 的取值肯定小于 $+\infty$ ，这是必然事件。

综上所述， $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{l} 0, x<-1, \\ \frac{1}{4},-1 \leqslant x<2, \\ \frac{3}{4}, \quad 2 \leqslant x<3, \\ 1, x \geqslant 3 . \end{array}\right.$

【注5】（1）以后讨论分布函数，必须写成左闭右开 $[a, b)$ 的形式（或者说等号随着大于号），这是为了保证分布函数是右连续。
（2）以后针对这种只能取有限个点的随机变量的分布函数求解问题可以直接看满足 $X < b$ 的可能的取值求这些随机变量的取值对应的概率值的和即是该区间的分布函数值。

【注6】此分布函数的图像如下：

此图像呈一种阶梯状，这种阶梯状的函数在 $- 1, 2, 3$ 点发生了跳跃（跳跃间断点）。

凡是取有限个点的这种随机变量 $X$ ，它的分布函数都是呈现阶梯状态，反之也成立，取的点就是这些跳跃间断点，并且跳跃高度就是对应该点随机变量取值的概率。

继续解题：

$P\{X\leqslant\frac{1}{2}\}=F\left ( \frac{1}{2} \right ) =\frac{1}{4}$ ，
$P\{\frac{3}{2}<X\leqslant\frac{5}{2}\}=P\{X\leqslant\frac{5}{2}\}-P\{X\leqslant\frac{3}{2}\}=F\left ( \frac{5}{2} \right )-F\left ( \frac{3}{2} \right )=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ ，
$P\{2\leqslant X\leqslant3\}=F(3)-F(2-0)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

【例3】（课后作业）一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶子上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能击中，以 $X$ 表示弹着点与圆心的距离，求随机变量 $X$ 的分布函数。
【答】若 $x < 0$ ，则 $\{X\leqslant x\}$ 是不可能事件（因为距离不能为负数），则 $F(x)=P\{X\leqslant x\}=0$

若 $0\leqslant x<2$ （和书中不一样，保持刚才左闭右开的原则），由于击中靶子上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，则 $F(x)=P\{X\leqslant x\}=k\pi x^{2}$ ， $k$ 是某一确定的常数（书中写 $kx^{2}$ 是将 $k\pi$ 视为常数了，一样的），当 $x = 1$ 时，记 $S$ 为同心圆的面积，由几何概型公式，有 $F(1)=k\pi$ ， $P\{X\leqslant 1\}=\frac{S_{半径为1的圆}}{S_{圆盘靶子的面积}}=\frac{\pi \times 1^{2}}{\pi \times 2^{2}}=\frac{1}{4}=k\pi$ ，所以 $k\pi=\frac{1}{4}$ ，故 $F(x)=\frac{x^{2}}{4}$

若 $x\geqslant 2$ ，则 $\{X\leqslant x\}=\{X\leqslant x<+\infty\}$ 是必然事件，则 $F(x)=P\{X\leqslant x\}=1$ ，综上所述， $X$ 的分布函数为
$F(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0, & x<0, \\ \frac{x^{2}}{4}, & 0 \leqslant x<2, \\ 1, & x \geqslant 2 . \end{array}\right.$
按照高昆轮老师的要求，它的分布函数图像为：

【注】这种实际上叫连续型随机变量，它不是取有限个点的分布，所以不能通过跳跃间断点的跳跃值判断每个点的概率。它的分布函数可以写成变上限的反常积分 $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d} t$