本次题目来自于卡码网
97. 小明逛公园 (Floyd 算法精讲)
1、确定dp数组以及下标的含义
grid[i][j][k] = m,表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m
2、确定递推公式
分两种情况:
- 节点i 到 节点j 的最短路径经过节点k
- 节点i 到 节点j 的最短路径不经过节点k
对于第一种情况,grid[i][j][k] = grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]
第二种情况,grid[i][j][k] = grid[i][j][k - 1]
因为我们是求最短路,对于这两种情况自然是取最小值。
即: grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1], grid[i][j][k - 1])
3、dp数组如何初始化
把k 赋值为 0,本题 节点0 是无意义的,节点是从1 到 n
初始化代码
vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005))); // C++定义了一个三位数组,10005是因为边的最大距离是10^4for(int i = 0; i < m; i++){cin >> p1 >> p2 >> val;grid[p1][p2][0] = val;grid[p2][p1][0] = val; // 注意这里是双向图
}
grid数组中其他元素数值应该初始化多少呢? 本题求的是最小值,所以输入数据没有涉及到的节点的情况都应该初始为一个最大数。
4、确定遍历顺序
我们来看初始化,我们是把 k =0 的 i 和j 对应的数值都初始化了,这样才能去计算 k = 1 的时候 i 和 j 对应的数值。
这就好比是一个三维坐标,i 和j 是平层,而k 是 垂直向上 的。
遍历的顺序是从底向上 一层一层去遍历。
所以遍历k 的for循环一定是在最外面,这样才能一层一层去遍历
5、举例推导dp数组
if __name__ == '__main__':n, m = map(int, input().split())grid = [[[10005] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)] # 因为边的最大距离是10^4for i in range(m):p1, p2, val = map(int, input().split())grid[p1][p2][0] = valgrid[p2][p1][0] = val # 双向图# 开始 floydfor k in range(1, n + 1):for i in range(1, n + 1):for j in range(n + 1):grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k - 1], grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1])# 输出结果z = int(input())for _ in range(z):start, end = map(int, input().split())if grid[start][end][n] == 10005:print(-1)else:print(grid[start][end][n])
空间优化
我们可以做一下 空间上的优化,从滚动数组的角度来看,我们定义一个 grid[n + 1][ n + 1][2] 这么大的数组就可以,因为k 只是依赖于 k-1的状态,并不需要记录k-2,k-3,k-4 等等这些状态。
又由于本层计算中,使用了本层计算过的 grid[i][k] 和 grid[k][j] 是没问题的。那么就没必要区分,grid[i][k] 和 grid[k][j] 是 属于 k - 1 层的呢,还是 k 层的。
if __name__ == '__main__':n, m = map(int, input().split())grid = [[10005] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] # 因为边的最大距离是10^4for i in range(m):p1, p2, val = map(int, input().split())grid[p1][p2] = valgrid[p2][p1] = val # 双向图# 开始 floydfor k in range(1, n + 1):for i in range(1, n + 1):for j in range(n + 1):grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][k] + grid[k][j])# 输出结果z = int(input())for _ in range(z):start, end = map(int, input().split())if grid[start][end] == 10005:print(-1)else:print(grid[start][end])
126. 骑士的攻击 (A * 算法精讲)
加入了启发式函数,使用了优先队列,优先队列中自定义了比较函数(https://www.cnblogs.com/xrszff/p/14783972.html)
import heapq# F = G + H
# G = 从起点到该节点路径消耗
# H = 该节点到终点的预估消耗class Knight:def __init__(self):self.x = 0self.y = 0self.g = 0self.h = 0self.f = 0def __lt__(self, other): # 自定义比较函数return self.f < other.fdef heuristic(k): # 欧拉距离return (k.x - b1) * (k.x - b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2) # 统一不开根号,这样可以提高精度def astar(k):heapq.heappush(que, k)while que:cur = heapq.heappop(que)if cur.x == b1 and cur.y == b2:breakfor i in range(8):next = Knight()next.x = cur.x + dir[i][0]next.y = cur.y + dir[i][1]if next.x < 1 or next.x > 1000 or next.y < 1 or next.y > 1000:continueif moves[next.x][next.y] == 0:moves[next.x][next.y] = moves[cur.x][cur.y] + 1# 开始计算Fnext.g = cur.g + 5 # 统一不开根号,这样可以提高精度,马走日,1 * 1 + 2 * 2 = 5next.h = heuristic(next)next.f = next.g + next.hheapq.heappush(que, next)if __name__ == '__main__':dir = [(-2, -1), (-2, 1), (-1, 2), (1, 2), (2, 1), (2, -1), (1, -2), (-1, -2)]que = []heapq.heapify(que)n = int(input())for _ in range(n):a1, a2, b1, b2 = map(int, input().split())moves = [[0] * 1001 for _ in range(1001)] # 每次重新开辟空间start = Knight()start.x = a1start.y = a2start.g = 0start.h = heuristic(start)start.f = start.g + start.hastar(start)while que:heapq.heappop(que) # 队列清空print(moves[b1][b2])