【C++】AVL树（旋转、平衡因子）

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目录

前言

AVL树的概念

 节点

插入

AVL树的旋转 

新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋 

新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

AVL树的验证 

 AVL树的性能

完整代码

前言

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             今日更新了AVL树的相关内容
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AVL树的概念

 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

解决方案：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。

插入的总体原则：

  1.  按照搜索树规则插入
  2. 更新插入节点的祖先节点的平衡因子。
    1. 如果插入在父亲左边，父亲的平衡因子--。
    2. 如果插入在父亲右边，父亲的平衡因子++。
    3. 父亲平衡因子==0，则父亲所在子树高度不变，不再继续往上更新，插入结束。
    4. 父亲平衡因子==1or-1，父亲所在子树高度变了，继续往上更新。
    5. 父亲平衡因子==2or-2，父亲所在子树已经不平衡了，需要旋转处理。

 节点

插入

	bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent) {if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){//更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//当前子树出问题了，需要旋转平衡一下break;}else{//理论而言不可能出现该情况assert(false);}}return true;}

上面是插入的大体流程，旋转操作还未给出。

AVL树的旋转 

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋 

这里以抽象图进行分析，因为具体的情况有很多种，无法画出。

注意：a子树的情况必须是插入后会引发祖先节点的更新，而不是只是内部变化。如下图情况就不符合要求。

旋转流程：新节点插入在a树中，导致以60为根的二叉树不平衡。所以就要右单旋。

右单旋：把60的左子树高度减少，即把60取出来，让30的右子树变成60的左子树，再把以60为根的树变成30的右子树。30成为新的根。

	void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR) //节点可能为空subLR->_parent = parent;subL->_right = parent; //旧父节点变成subL的右节点Node* ppNode = parent->_parent;  //该不平衡节点可能不是根节点，所以要找到它的父节点parent->_parent = subL;				if (parent == _root)   //如果该节点是根节点{_root = subL;		_root->_parent = nullptr;}else  //不平衡节点只是一棵子树{if (ppNode->_left == parent)  //如果旧父节点等于爷爷节点的左节点，新父节点为爷爷节点的左节点{ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;	//新父节点指向爷爷节点。}parent->_bf = subL->_bf = 0;  //只需要修改这两个的平衡因子}

新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

参考右单旋。

左单旋和右单旋的调用如下图：

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

单旋用在一边一直高的情况。双旋是先一边高再另一边高的情况。

双旋的的原理就是把折线变成直线，再像处理直线一样旋转。

双旋可以复用单旋，但双旋主要要搞清平衡因子的变化。

第一种情况： 

双旋的结果：60的左边给了30的右边，60的右边给了90的左边，30和90分别成为60的左右，60成为根。

上图是插入b引起的旋转，当插入c时是第二种情况，如下图：

上面两种插入位置的不同，导致最终的平衡因子不同。

第三种情况：

h==0时，60就是新增节点，最终的平衡因子也不同。

	void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf;  //记录未旋转前subLR的平衡因子RotateL(parent->_left);  RotateR(parent);if (bf == -1)  //如果bf为-1，即插入在subLR的左边{subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1) //插入在subLR的右边{subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

参考左右双旋，注意，这里也要讨论那三种情况。 

	void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}}

AVL树的验证 

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

  1. 验证其为二叉搜索树。如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
  2. 验证其为平衡树。每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子) 节点的平衡因子是否计算正确 

 因为root是私有的，又因为需要递归检查每棵子树是否平衡，所以可以写一个私有的_IsBalance方法，通过公有的IsBalance方法来调用。

 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN)。 但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。红黑树在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优。

完整代码

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv),_bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent) {if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){//更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//当前子树出问题了，需要旋转平衡一下if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //左边高，右单旋{RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//右边高，左单旋{RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){ RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent); }break;}else{//理论而言不可能出现该情况assert(false);}}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR) //节点可能为空subLR->_parent = parent;subL->_right = parent; //旧父节点变成subL的右节点Node* ppNode = parent->_parent;  //该不平衡节点可能不是根节点，所以要找到它的父节点parent->_parent = subL;				if (parent == _root)   //如果该节点是根节点{_root = subL;		_root->_parent = nullptr;}else  //不平衡节点只是一棵子树{if (ppNode->_left == parent)  //如果旧父节点等于爷爷节点的左节点，新父节点为爷爷节点的左节点{ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;	//新父节点指向爷爷节点。}parent->_bf = subL->_bf = 0;  //只需要修改这两个的平衡因子}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_right == parent){ppNode->_right = subR;}else{ppNode->_left = subR;}subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf;  //记录未旋转前subLR的平衡因子RotateL(parent->_left);  RotateR(parent);if (bf == -1)  //如果bf为-1，即插入在subLR的左边{subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1) //插入在subLR的右边{subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}int Height() //树的高度{return _Height(_root);}int Size()  //插入的节点个数{return _Size(_root);}private:int _Size(Node* root){return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;}bool _IsBalance(Node* root) {if (root == nullptr) return true;int	leftHeight = _Height(root->_left);int	rightHeight = _Height(root->_right);//如果不平衡if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2){cout << root->_kv.first << endl;return false;}//检查平衡因子是否正确if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << endl;return false;}return _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root=nullptr; 
};void AVLTreeTest1()
{//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };AVLTree<int,int> t1;for (auto e : a){t1.Insert({e,e});cout <<"Insert:"<<e<<"->"<< t1.IsBalance() << endl;}t1.InOrder();	cout << t1.IsBalance() << endl;
}

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