一.定义

定义：
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题（即所谓的并、查）。比如说，我们可以用并查集来判断一个森林中有几棵树、某个节点是否属于某棵树等。

主要构成：
并查集主要由一个整型数组pre[ ]和两个函数find( )、join( )构成。
数组 pre[ ] 记录了每个点的前驱节点是谁，函数 find(x) 用于查找指定节点 x 属于哪个集合，函数 join(x,y) 用于合并两个节点 x 和 y 。

作用：
并查集的主要作用是求连通分支数（如果一个图中所有点都存在可达关系（直接或间接相连），则此图的连通分支数为1；如果此图有两大子图各自全部可达，则此图的连通分支数为2……）

 二.代码

find( )函数的定义与实现

故事引入：
子夜，小昭于骊山下快马送信，发现一头戴竹笠之人立于前方，其形似黑蝠，倒挂于树前，甚惧，正系拔剑之时，只听四周悠悠传来：“如此夜深，姑凉竟敢擅闯明教，何不下坐陪我喝上一盅？”。小昭听闻，后觉此人乃明教四大护法之一的青翼蝠王韦一笑，答道：“在下小昭，乃紫衫龙王之女”。蝠王轻惕，急问道：“尔等既为龙王之女，故同为明教中人。敢问阁下教主大名，若非本教中人，于明教之地肆意走动那可是死罪！”。小昭吓得赶紧打了个电话问龙王：“龙王啊，咱教主叫啥名字来着？”，龙王答道：“吾教主乃张无忌也！”，小昭遂答蝠王：“张无忌！”。蝠王听后，抱拳请礼以让之。
在上面的情境中，小昭向他的上级（紫衫龙王）请示教主名称，龙王在得到申请后也向他的上级（张无忌）请示教主名称，此时由于张无忌就是教主，因此他直接反馈给龙王教主名称是“张无忌”。同理，青翼蝠王也经历了这一请示过程。
在并查集中，用于查询各自的教主名字的函数就是我们的find()函数。find(x)的作用是用于查找某个人所在门派的教主，换言之就是用于对某个给定的点x，返回其所属集合的代表。

实现：
首先我们需要定义一个数组：int pre[1000]; （数组长度依题意而定）。这个数组记录了每个人的上级是谁。这些人从0或1开始编号（依题意而定）。比如说pre[16]=6就表示16号的上级是6号。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是教主了，查找到此结束。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。
每个人都只认自己的上级。比如小昭只知道自己的上级是紫衫龙王。教主是谁？不认识！要想知道自己教主的名称，只能一级级查上去。因此你可以视find(x)这个函数就是找教主用的。
下面给出这个函数的具体实现：

int find(int x)					//查找x的教主
{while(pre[x] != x)			//如果x的上级不是自己（则说明找到的人不是教主）x = pre[x];				//x继续找他的上级，直到找到教主为止return x;					//教主驾到~~~
}

 

join( )函数的定义与实现

故事引入：
虚竹和周芷若是我个人非常喜欢的两个人物，他们的教主分别是玄慈方丈和灭绝师太，但是显然这两个人属于不同门派，但是我又不想看到他们打架。于是，我就去问了下玄慈和灭绝：“你看你们俩都没头发，要不就做朋友吧”。他们俩看在我的面子上同意了，这一同意非同小可，它直接换来了少林和峨眉的永世和平。

实现：
在上面的情景中，两个已存的不同门派就这样完成了合并。这么重大的变化，要如何实现？要改动多少地方？其实很简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先所有人员的教主就都变成了师太，于是下面的人们也就不会打起来了！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的”。玄慈听后立刻就不乐意了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”。抗议无效，我安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个，join()函数的作用就是用来实现这个的。

join(x,y)的执行逻辑如下：
1、寻找 x 的代表元（即教主）；
2、寻找 y 的代表元（即教主）；
3、如果 x 和 y 不相等，则随便选一个人作为另一个人的上级，如此一来就完成了 x 和 y 的合并。
下面给出这个函数的具体实现：

void join(int x,int y)                     //我想让虚竹和周芷若做朋友
{int fx=find(x), fy=find(y);            //虚竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是灭绝if(fx != fy)                           //玄慈和灭绝显然不是同一个人pre[fx]=fy;                        //方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
}

总结

1、用集合中的某个元素来代表这个集合，则该元素称为此集合的代表元；
2 、一个集合内的所有元素组织成以代表元为根的树形结构；
3 、对于每一个元素 x，pre[x] 存放 x 在树形结构中的父亲节点（如果 x 是根节点，则令pre[x] = x）；
4 、对于查找操作，假设需要确定 x 所在的的集合，也就是确定集合的代表元。可以沿着pre[x]不断在树形结构中向上移动，直到到达根节点。
因此，基于这样的特性，并查集的主要用途有以下两点：
1、维护无向图的连通性（判断两个点是否在同一连通块内，或增加一条边后是否会产生环）；
2、用在求解最小生成树的Kruskal算法里。

一般来说，一个并查集对应三个操作：
1、初始化（ Init()函数 ）
2、查找函数（ Find()函数 ）
3、合并集合函数（ Join()函数 ）

#include<bits/stdc++.h>
using  namespace std;
#define int long long
int n,m;
int pre[10007];
void init(){for(int i=1;i<=n;i++){pre[i]=i;//每个结点的上级都是自己 }
}
int find(int x){ //查找结点 x的根结点 if(pre[x]!=x){pre[x]=find(pre[x]);//递归出口：x的上级为 x本身，则 x为根结点 }return pre[x];//递归查找 
}
void join(int x,int y){int fx=find(x);//寻找 x的代表元int fy=find(y);//寻找 y的代表元if(fx!=fy){//不同集合则合并pre[fx]=fy;}
}
bool isSame(int x,int y){return find(x)==find(y);
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n>>m;init();while(m--){int num;cin>>num;if(num==1){int x,y;cin>>x>>y;join(x,y);}else{int x,y;cin>>x>>y;if(isSame(x,y)==0){cout<<"N"<<endl;}else{cout<<"Y"<<endl;}}}system("pause");return 0;
}

三.例题一 

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,k;
int pre[10010];
void init(){for(int i=1;i<=n;i++){pre[i]=i;}
}
int find(int x){if(pre[x]!=x){pre[x]=find(pre[x]);}return pre[x];
}
void join(int x,int y){int fx=find(x);int fy=find(y);if(fx!=fy){pre[fx]=fy;}
}
bool issame(int x,int y){return find(x)==find(y);
}
int main(){cin>>n>>m>>k;init();while(m--){int a,b;cin>>a>>b;join(a,b);}while(k--){int a,b;cin>>a>>b;if(issame(a,b)){cout<<"Yes"<<endl;}else{cout<<"No"<<endl;}}system("pause");return 0;
}

  

四.例题二 （加反集）

 

 

关于反集

我也是做这道题才知道的

如果a和b是敌人，合并n+b和a，n+a和b

如果c和a是敌人，合并n+c和a，n+a和c

那么b和c就并在一起了

这样就符合了题目敌人的敌人是朋友的规则

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,k;
int pre[10010];
map<int,int> mp;
void init(){for(int i=1;i<=2*n;i++){pre[i]=i;//这里初始化为2*n}
}
int find(int x){if(pre[x]!=x){pre[x]=find(pre[x]);}return pre[x];
}
void join(int x,int y){int fx=find(x);int fy=find(y);if(fx!=fy){pre[fx]=fy;}
}
int main(){cin>>n>>k;init();while(k--){string s;cin>>s;int a,b;cin>>a>>b;if(s=="F"){join(a,b);}else if(s=="E"){join(n+a,b);join(n+b,a);}}int cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(pre[i]==i) cnt++;}cout<<cnt<<endl;system("pause");return 0;
}