分类问题的loss

• MSE
• Cross Entropy Loss
• Hinge Loss （SVN用的比较多）
  • ${\sum }_{i}max(0,1-y_i\ast h_{\theta }(x_i))$

Entropy（熵）

• Uncertainty（也叫不确定性）
• measure of surprise（惊喜度）
• higher entropy = less info
  • $Entropy=-{\sum }_{i}P(i)\log P(i)$

Entropy就是熵，也叫做不确定性，从某种程度上讲是惊喜度

比如你长得很帅，我说你很帅，这句话的内容就比较少，uncertainty就比较低，entropy比较高

比如某个人能力很差，但是有一天中了大奖，这个消息的Uncertainty就比较高，信息量就比较大，就是说没有能力但是却突然很有钱了，意味着这句话很惊喜，Uncertainty比较高，entropy比较低

entropy定义为每个i的probability再乘以log probability

具体的例子

熵稳定效应是指在信息论中,熵越高的系统越不稳定,而熵越低的系统越稳定。

每个数字的中奖概率相同时，这个分布的熵比较高，因为不确定性大（不知道哪个数字会中奖）

a为[0.1,0.1,0.1,0.7]的时候，4这个数字的中奖率比较高，其他数字的中奖率只有0.1。此时的熵是比较低的。这是因为熵是衡量随机变量不确定性的度量，而在这个分布中，数字4的中奖概率远高于其他数字，这意味着结果的不确定性较低，因为数字4的中奖几乎是确定的。

a为[0.001,0.001,0.001,0.999]的时候，非常极端的情况，前面都不可能中奖，这个熵非常低，因为几乎可以确定第四个结果会发生

Cross Entropy (交叉熵)

Entropy：指的是一个分布，比如说p本身的一个稳定性
Cross Entropy (交叉熵)：一般指的是两个分布，衡量两个分布的稳定性

第一步可以推导为第二步$H(p)$再加上$D_{kl}(p|q)$，$D_{kl}(p|q)$这一部分是kl divergence，也叫KL散度，是真正衡量两个概率分布差异的方法

举例，两个高斯分布

重叠部分比较少，因此它的kl散度比较高，假设是2

完全重合，kl散度就接近于0了

根据定义如果P和Q相等，cross Entropy = Entropy

如果采用01编码比如说[0,1,0,0]只有第二项是1，所以是1log1,所以entropy是0 ，一般分类问题都是01编码，对于01编码来说，这个H§的entropy就等于0，然后根据H(p,q)推导之后的式子，如果H( p )等于0的话，H(p,q)就等于$D_{kl}(p|q)$，也就意味着当我们去优化P和Q的交叉熵的时候，如果是01编码相当于直接优化P和Q的KL散度，KL散度刚好衡量的是两个分布重叠的情况，如果用网络预测出θ条件的分布，还有一个真实的分布，这两个分布的kl散度接近于0的话，意味着P=Q，恰好是我们需要的情况

cross entropy 对于01编码来说就是kl散度，而kl散度又说明了，如果交叉熵接近于0那kl散度就接近于0，意味着p和q的分布越来越近，恰好是我们要优化的目标

二分类问题

二分类问题的交叉熵如何运算

首先H(P,Q)是P乘以log Q再求和的问题

只有cat和dog两种分类，所以只有两种求和，但是由于P(dog)=1-P(cat),也就是说非猫即狗，这里假设P(cat)是y，Q(cat)是p，那式子就可以改写为y和p的式子，因为PQ分布使用的是01编码，所以y就是实际的值，p就是模型预测出的概率分布，由于二分类问题，非猫即狗，最后就会得出上图中y和p的表达式

如何解释这个y和p的表达式

如果y等于1的话，式子等于H(P,Q)=-log p,要最小化这个式子，有负号所以要最大化log p，即最大化p，最大化输入x，y=1的概率
如果y等于0的话，式子等于H(P,Q)=-log(1-p),要最小化这个式子，有负号所以要最大化log(1-p)，就是要最小化p，最小化输入x，y=1的概率，即最大化输入x，y=0的概率（切记这里是二分类，不是0就是1）

例子：

当前的实例时一只小狗，P值就是真实分布，Q值就是模型预测分布，经过softmax预测是对的，但是可能性不高，看一下交叉熵约等于0.9

如果变成图右下角的情况就非常理想，狗的概率就非常高，这时交叉熵是0.02，也就是说变好了，交叉熵也从0.9下降到了0.02，说明了$p_{\theta }$越来越逼近$p_r$

可以看出与MSE一样，都能够很好的迫使我们的预测朝着我们想要的方向去进行

总结

为什么分类问题不适用MSE，而使用Cross Entropy?

1. 如果使用sigmoid和mse搭配的话，很容易出现sigmoid饱和的情况，会出现梯度弥散
2. cross entropy概率的梯度信息更大，更容易收敛的更快，比如说当前label趋近于1，如果q的分布没有靠近1的话，例如在左端，就会发现loss会非常大，所以梯度会很大，会收敛的很快，当接近于1的时候，梯度就开始慢慢变小
3. 如果发现cross entropy不行也可以试mse，因为mse的梯度求导更加简单

神经网络的结构，最后一层（可以横着看）叫logit，后面经过softmax层再经过cross entropy做计算，对于pytorch来说灰色部分是由一个现成的网络结构的，如果把softmax和cross entropy分开的话会出现一个数据不稳定的情况，所以一般不建议大家直接自己用softmax来处理，最好直接得到logit的输出以后，用pytorch一次完成不要自己去处理，因为会出现数据不稳定的情况

实例

F.cross_entropy函数中必须使用logits，因为pytorch中已经把softmax和log打包再一起了，如果传入pred_log就意味着再做一遍softmax，会导致数据非常小

如果一定要自己计算的话用F.nll_loss就行，但是这里就必须传入softmax之后的数据

F.cross_entropy函数等于softmax操作+log操作+F.nll_loss操作