旋转和镜像的关系

旋转矩阵行列式与
在E(3)三维空间中,旋转矩阵的行列式可以用来判断该旋转是否包含镜像变换。

  • 行列式为正:

表示纯旋转,不包含镜像。
旋转矩阵保持向量的长度和角度不变,只是改变向量的方向。

  • 行列式为负:

表示旋转包含镜像。
旋转矩阵不仅改变了向量的方向,还改变了向量的朝向,相当于对旋转后的向量进行了镜像翻转。

二维空间示例:

假设我们选择一个旋转角度为 45 度的旋转矩阵,其行列式为正:

R = [[sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2], [sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]]
对向量 (0,1) 进行旋转:

R * [[0], [1]] = [[-sqrt(2)/2], [sqrt(2)/2]]
可以看到,向量 (0,1) 被旋转到 (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2),这是一个纯旋转,不包含镜像。

如果我们选择一个包含镜像的旋转矩阵,例如关于 x 轴的镜像加上 45 度旋转,其行列式为负:

M = [[sqrt(2)/2, sqrt(2)/2], [sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2]]
对向量 (0,1) 进行变换:

M * [[0], [1]] = [[sqrt(2)/2], [-sqrt(2)/2]]
可以看到,向量 (0,1) 被变换到 (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2),这是一个包含镜像的旋转。

在纯旋转情况下,向量 (0,1) 被旋转到 (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2);
而在包含镜像的旋转情况下,向量 (0,1) 被变换到 (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2)。

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