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1 Min-Max归一化

方法1：自定义的Min-Max归一化封装函数

方法2： scikit-learn库中的MinMaxScaler

2 Z-score归一化

方法1：自定义的Z-score归一化封装函数

方法2： scikit-learn库中的StandardScaler

3 最大值归一化

4 L1归一化

方法1：自定义的Z-score归一化封装函数

方法2： scikit-learn库中的Normalizer

5 L2归一化

方法1：自定义的L2归一化归一化封装函数

方法2： scikit-learn库中的Normalizer

6 Box-Cox归一化

方法1：自定义的L2归一化归一化封装函数

方法2： scipy库的boxcox

7 选择哪种归一化

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实验数据：链接：https://pan.baidu.com/s/1yT1ct_ZM5uFLgcYsaBxnHg?pwd=czum  提取码：czum 

实验数据介绍：参考文章1.2节（数据介绍链接）

1 Min-Max归一化

最小-最大归一化（Min-Max Normalization）是一种将数据缩放到特定范围内的线性变换方法，通常是[0, 1]。这种方法保证了数据的最小值被映射为0，最大值被映射为1，中间的值则按比例进行缩放。

最小-最大归一化的公式为：

其中，是归一化后的值，x 是原始数据点，max(x) 和 min(x) 分别是数据集中的最大值和最小值。

示例程序将使用两种方法实现，自定义的最小-最大归一化封装函数，并使用scikit-learn库中的MinMaxScaler类作为第二种方法来实现归一化。以下是具体的实现：

方法1：自定义的Min-Max归一化封装函数

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt# 定义最小-最大归一化函数，使其能够处理DataFrame或Series
def min_max_normalization(data):# 检查数据是否为pandas Series或DataFrameif isinstance(data, pd.Series):# 如果是Series，直接应用归一化min_val = data.min()max_val = data.max()data_normalized = (data - min_val) / (max_val - min_val)return data_normalizedelif isinstance(data, pd.DataFrame):# 如果是DataFrame，逐列应用归一化return (data - data.min()) / (data.max() - data.min())else:raise ValueError("Input data must be a pandas Series or DataFrame")# 方法一：使用自定义函数进行归一化
data_normalized_custom = min_max_normalization(data['Total_Spending'])

方法2： scikit-learn库中的MinMaxScaler

from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler# 方法二：使用 scikit-learn 的 MinMaxScaler 进行归一化
scaler = MinMaxScaler()
data_normalized_sklearn = scaler.fit_transform(data[['Total_Spending']])

plt.figure(figsize=(14, 5))
# 绘制原始数据和归一化数据的对比图
plt.subplot(1, 2, 1)
# 绘制原始数据的线条图
plt.plot(data['Total_Spending'], marker='o')
plt.title('Original Data')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Value')plt.subplot(1, 2, 2)
# 绘制自定义归一化方法的数据的线条图
plt.plot(data_normalized_custom, label='Normalized (Custom)', linestyle='--', marker='x')
# 绘制 scikit-learn 归一化方法的数据的线条图
plt.plot(data_normalized_sklearn, label='Normalized (scikit-learn)', linestyle='-.', marker='s')# 添加图例、标题和坐标轴标签
# plt.legend(loc='upper center')
plt.title('min_max_normalization')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Value')

运行结果如下： 

2 Z-score归一化

 Z-score归一化，也称为标准化（Standardization），是一种将数据按比例缩放至特定均值（mean）和标准差（standard deviation）的方法。其目的是将数据转换为一个标准分布，其中数据的均值为0，标准差为1。Z-score归一化它确保了不同特征具有相同的尺度和分布特性。 

示例程序将使用两种方法实现，自定义的最小-最大归一化封装函数，并使用scikit-learn库中的StandardScaler类作为第二种方法来实现归一化。以下是具体的实现：

方法1：自定义的Z-score归一化封装函数

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt# 使用自定义函数进行Z-score归一化
def z_score_normalization(data):if isinstance(data, (pd.Series, pd.DataFrame)):mean = data.mean()std = data.std()data_normalized = (data - mean) / stdreturn data_normalizedelse:raise ValueError("Input data must be a pandas Series or DataFrame")# 使用自定义函数进行Z-score归一化
data_normalized_custom = z_score_normalization(data.iloc[:, 7:10])

方法2： scikit-learn库中的StandardScaler

from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 使用 scikit-learn 的 StandardScaler 进行Z-score归一化
scaler = StandardScaler()
data_normalized_sklearn = scaler.fit_transform(data.iloc[:, 7:10])
data_normalized_sklearn = pd.DataFrame(data_normalized_sklearn, columns=data.columns[7:10])

 运行结果如下，选取的3个数据有不同的尺度，最后归一化到了0-1的范围：  

3 最大值归一化

最大最小值归一化（Min-Max Normalization）是一种线性变换，它将数据的最小值映射到0，最大值映射到1，所有其他值按比例映射到0和1之间。

最大最小值归一化的公式为：

其中：x 是原始数据点，x′ 是归一化后的数据点，min(x) 是数据中的最小值，max(x) 是数据中的最大值。

示例程序自定义的最小-最大归一化封装函数，以下是具体的实现：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt# 使用自定义函数进行最大最小值归一化
def min_max_normalization(data):if isinstance(data, (pd.Series, pd.DataFrame)):data_normalized = (data - data.min()) / (data.max() - data.min())return data_normalizedelse:raise ValueError("Input data must be a pandas Series or DataFrame")# 使用自定义函数进行最大最小值归一化
data_normalized_custom = min_max_normalization(data.iloc[:, 7:10])# 绘制原始数据和归一化数据的对比图
plt.figure(figsize=(14, 5))plt.subplot(1, 2, 1)
# 绘制原始数据的线条图，假设我们有3列数据
for idx, col in enumerate(data.columns[7:10]):plt.plot(data.index, data[col], marker='o', linewidth=1, markersize=3)plt.title('Original Data')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Value')plt.subplot(1, 2, 2)
# 绘制自定义最大最小值归一化方法的数据的线条图
for idx, col in enumerate(data.columns[7:10]):plt.plot(data.index, data_normalized_custom[col], linestyle='--', marker='x', linewidth=1, markersize=3)# 添加图例、标题和坐标轴标签
plt.title('Min-Max Normalization')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Normalized Value')# 显示图形
plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果如下：

4 L1归一化

L1归一化，也称为曼哈顿距离归一化或1-范数归一化，是一种将数据的特征向量按其绝对值的总和进行归一化的方法。其目的是将每个特征的绝对值加和为1。L1归一化在某些特定的机器学习算法中很有用，比如在L1正则化（Lasso回归）中。

L1归一化的公式为：

• x 是原始数据向量。
• x′ 是归一化后的数据向量。
• ∑∣x∣ 是向量x中所有元素绝对值的总和。

L1归一化的优点包括：

• 它对异常值具有一定的鲁棒性，因为异常值不会像在L2归一化中那样对结果产生过大的影响。
• 它可以将数据转换为稀疏表示，这在某些类型的机器学习算法中是有利的。

示例程序将使用两种方法实现，自定义的L1归一化封装函数，并使用scikit-learn库中的Normalizer类作为第二种方法来实现归一化。以下是具体的实现：

方法1：自定义的Z-score归一化封装函数

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt# 使用自定义函数进行L1归一化
def l1_normalization(data):if isinstance(data, pd.Series):data = data.to_frame()  # 将Series转换为DataFrameif isinstance(data, pd.DataFrame):norms = np.abs(data).sum(axis=1)data_normalized = data.div(norms, axis=0)return data_normalizedelse:raise ValueError("Input data must be a pandas Series or DataFrame")# 使用自定义函数进行L1归一化
data_normalized_custom = l1_normalization(data.iloc[:, 7:10])

方法2： scikit-learn库中的Normalizer

from sklearn.preprocessing import Normalizer# 使用 scikit-learn 的 Normalizer 进行L1归一化
normalizer = Normalizer(norm='l1')
data_normalized_sklearn_l1 = normalizer.fit_transform(data.iloc[:, 7:10])
data_normalized_sklearn_l1 = pd.DataFrame(data_normalized_sklearn_l1, columns=data.columns[7:10])

# 绘制原始数据和归一化数据的对比图
plt.figure(figsize=(14, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
# 绘制原始数据的线条图
for idx, col in enumerate(data.columns[7:10]):plt.plot(data.index, data[col], label=f'Original {col}', marker='o', linewidth=1, markersize=3)plt.title('Original Data')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Value')
plt.subplot(1, 2, 2)
# 绘制自定义L1归一化方法的数据的线条图
for idx, col in enumerate(data_normalized_custom.columns):plt.plot(data.index, data_normalized_custom[col], linestyle='--', marker='x', linewidth=1, markersize=3)
# 绘制自定义L1归一化方法的数据的线条图
for idx, col in enumerate(data_normalized_sklearn_l1.columns):plt.plot(data.index, data_normalized_sklearn_l1[col], linestyle='--', marker='x', linewidth=1, markersize=3)# 添加图例、标题和坐标轴标签
plt.title('L1 Normalization')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Normalized Value')# 显示图形
plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果如下：

5 L2归一化

L2归一化，也称为欧几里得归一化或2-范数归一化，是一种将数据的特征向量按其平方和的平方根进行归一化的方法。其目的是将每个特征的平方和除以向量的欧几里得范数，使得每个特征向量的范数为1。L2归一化在许多机器学习算法中很有用，特别是在需要考虑距离度量时，例如在K近邻（KNN）算法中。

L2归一化的公式为：

其中：x 是原始数据向量，′x′ 是归一化后的数据向量。∑x2 是向量x中所有元素平方的总和。

L2归一化的优点包括：

• 它对数据的每个维度赋予了相等的重要性，因为它是基于向量的欧几里得距离。
• 它在处理需要考虑角度和方向的应用中有广泛的应用，如在图像识别和计算机视觉中。

示例程序将使用两种方法实现，自定义的L2归一化封装函数，并使用scikit-learn库中的Normalizer类作为第二种方法来实现归一化。以下是具体的实现：

方法1：自定义的L2归一化归一化封装函数

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import Normalizer# 使用自定义函数进行L2归一化
def l2_normalization(data):if isinstance(data, (pd.Series, pd.DataFrame)):norms = np.sqrt(np.sum(data**2, axis=1))data_normalized = data.div(norms, axis=0)return data_normalizedelse:raise ValueError("Input data must be a pandas Series or DataFrame")# 使用自定义函数进行L2归一化
data_normalized_custom = l2_normalization(data.iloc[:, 7:10])

方法2： scikit-learn库中的Normalizer

# 使用 scikit-learn 的 Normalizer 进行L2归一化
normalizer = Normalizer(norm='l2')
data_normalized_sklearn_l2 = normalizer.fit_transform(data.iloc[:, 7:10])
data_normalized_sklearn_l2 = pd.DataFrame(data_normalized_sklearn_l2, columns=data.columns[7:10])

# 绘制原始数据和归一化数据的对比图
plt.figure(figsize=(14, 5))plt.subplot(1, 2, 1)
# 绘制原始数据的线条图
for idx, col in enumerate(data.columns[7:10]):plt.plot(data.index, data[col], label=f'Original {col}', marker='o', linewidth=1, markersize=3)plt.title('Original Data')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Value')plt.subplot(1, 2, 2)
# 绘制自定义L2归一化方法的数据的线条图
for idx, col in enumerate(data_normalized_custom.columns):plt.plot(data.index, data_normalized_custom[col], linestyle='--', marker='x', linewidth=1, markersize=3)# 绘制 scikit-learn L2归一化方法的数据的线条图
for idx, col in enumerate(data_normalized_sklearn_l2.columns):plt.plot(data.index, data_normalized_sklearn_l2[col], linestyle='-.', marker='s', linewidth=1, markersize=3)# 添加图例、标题和坐标轴标签
plt.title('L2 Normalization')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Normalized Value')# 显示图形
plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果如下：

6 Box-Cox归一化

Box-Cox归一化是一种用于变换数据的分布，使其更接近正态分布的方法。它特别适用于处理具有偏态分布的数据，能够减少数据的偏斜性并稳定方差。Box-Cox变换是一种幂律变换，可以表示为：

其中，y 是原始数据，λ 是变换参数。

Box-Cox归一化的关键步骤包括：

1. 选择合适的变换参数 λ。这通常通过最大化变换后数据的似然函数来实现。
2. 应用变换公式，根据选定的 λ 对数据进行变换。

Box-Cox归一化的优点包括：

• 它能够处理正值数据的偏态分布问题。
• 它可以减少数据的偏斜性，使数据更接近正态分布。
• 它可以稳定方差，使方差与均值无关。

示例程序将使用两种方法实现，自定义的L2归一化封装函数，并使用scipy的boxcox作为第二种方法来实现归一化。以下是具体的实现：

方法1：自定义的L2归一化归一化封装函数

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt# 自定义Box-Cox归一化函数
def custom_boxcox(data, lam):if lam == 0:return np.log(data)else:return (np.power(data, lam) - 1) / lam# 选择Box-Cox变换的参数lambda，这里我们先假设为0.5（可以根据数据调整）
lambda_value = 0.5# 为每一列分别使用自定义Box-Cox归一化函数
data_normalized_custom = pd.DataFrame()
for col_name in data.iloc[:, 7:10].columns:data_col = data[col_name] + 1  # 确保数据为正数，这里加1进行平移data_normalized_custom[col_name] = custom_boxcox(data_col, lambda_value)

方法2： scipy库的boxcox

from scipy import stats# 使用scipy的boxcox进行归一化
data_normalized_scipy, lambda_selected = stats.boxcox(data.iloc[:, 7] + 1)

# 绘制原始数据和归一化数据的对比图
plt.figure(figsize=(14, 5))plt.subplot(1, 2, 1)
# 绘制原始数据的线条图
for idx, col_name in enumerate(data.columns[7:10]):plt.plot(data.index, data[col_name], marker='o', linewidth=1, markersize=3)plt.title('Original Data')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Value')plt.subplot(1, 2, 2)
# 绘制自定义Box-Cox归一化方法的数据的线条图
for idx, col_name in enumerate(data_normalized_custom.columns):plt.plot(data.index, data_normalized_custom[col_name], linestyle='--', linewidth=1, markersize=3)# 绘制scipy Box-Cox归一化方法的数据的线条图
plt.plot(data.index, data_normalized_scipy, linestyle='-.', linewidth=1, markersize=3)# 添加图例、标题和坐标轴标签
plt.title('Box-Cox Normalization')
plt.xlabel('Index')
plt.ylabel('Normalized Value')# 显示图形
plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果如下： 

7 选择哪种归一化

各种归一化方法各有其特点和适用场景，以下是它们的使用场景和优缺点的对比：

归一化方法	特点
Min-Max归一化	优点：可以指定数据变换后的范围。 缺点：对异常值敏感，因为最大值和最小值会受其影响。
Z-score归一化	优点：降低了异常值的影响。 缺点：数据必须有明确的均值和方差。
最大值归一化	优点：可以处理非正态分布的数据。 缺点：对数据中的零值和负值不敏感，如果数据集中的最大值很少变化，可能导致归一化效果不佳。
L1归一化	优点：能够产生稀疏表示，对异常值有一定的鲁棒性。 缺点：可能导致数据的某些特征被忽略，特别是当这些特征的绝对值较小时。
L2归一化	优点：考虑了特征的相对大小，有助于保留数据的几何结构，常用于距离度量和聚类算法。 缺点：对异常值敏感，计算相对复杂。
Box-Cox归一化	优点：可以处理正值数据的偏态分布，通过变换参数λ调整，可以找到最佳的数据分布。 缺点：需要选择合适的λ值，这可能需要多次尝试，对数据中的零值或负值不适用。