最小步数模型——AcWing 1107. 魔板

最小步数模型

定义

最小步数模型通常是指在某种约束条件下,寻找从初始状态到目标状态所需的最少操作或移动次数的问题。这类问题广泛存在于算法、图论、动态规划、组合优化等领域。具体来说,它涉及确定一个序列或路径,使得按照特定规则执行一系列步骤后,能够从起始位置或状态转换到目标位置或状态,且所花费的步骤尽可能少。

运用情况

  1. 图的最短路径问题:如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等,用于寻找两点间经过边的最小权重和,即最少步数。
  2. 迷宫问题:寻找从起点到终点的最短路径,每步只能上下左右移动。
  3. 跳台阶问题:一个人可以1步或2步上楼梯,求n阶楼梯有多少种不同的上法,也是求最小步数的一个变体。
  4. 爬楼梯问题:每次可以爬1阶或2阶,求达到n阶楼梯的最少步数,考虑动态规划解法。
  5. 状态转换问题:如编辑距离(将一个字符串转换为另一个字符串最少的插入、删除、替换操作次数)。

注意事项

  1. 状态定义:明确问题中的状态如何表示,状态转移方程如何建立,这是解决问题的基础。
  2. 边界条件:正确设定初始状态和目标状态,以及任何可能的限制条件,避免无限循环或错误解。
  3. 避免重复计算:在动态规划等方法中,使用记忆化技术或递推公式减少重复子问题的计算。
  4. 最优子结构:利用问题的最优子结构,即问题的最优解可以由其子问题的最优解组合得到。
  5. 复杂度控制:考虑算法的时间和空间复杂度,选择合适的算法和数据结构以提高效率。

解题思路

  1. 分析问题:明确问题的输入、输出及约束条件,识别问题的类型(如是否为最短路径、最优化问题等)。
  2. 选择模型:根据问题特征选择合适的算法模型,如贪心、动态规划、图算法等。
  3. 状态定义与转移:定义状态表示问题的某一阶段,构建状态转移方程,描述如何从一个状态转移到另一个状态。
  4. 设计算法:依据状态转移方程设计算法,可能是递归、迭代、图的遍历等。
  5. 实现与优化:编写代码实现算法,考虑边界条件和特殊情况处理,优化算法以降低时间和空间复杂度。
  6. 验证与测试:通过测试用例验证算法的正确性,确保能正确处理各种边界条件和特殊情况。

AcWing 1107. 魔板

题目描述

AcWing 1107. 魔板 - AcWing

运行代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <queue>using namespace std;char g[2][4];
unordered_map<string, pair<char, string>> pre;
unordered_map<string, int> dist;void set(string state)
{for (int i = 0; i < 4; i ++ ) g[0][i] = state[i];for (int i = 7, j = 0; j < 4; i --, j ++ ) g[1][j] = state[i];
}string get()
{string res;for (int i = 0; i < 4; i ++ ) res += g[0][i];for (int i = 3; i >= 0; i -- ) res += g[1][i];return res;
}string move0(string state)
{set(state);for (int i = 0; i < 4; i ++ ) swap(g[0][i], g[1][i]);return get();
}string move1(string state)
{set(state);int v0 = g[0][3], v1 = g[1][3];for (int i = 3; i > 0; i -- ){g[0][i] = g[0][i - 1];g[1][i] = g[1][i - 1];}g[0][0] = v0, g[1][0] = v1;return get();
}string move2(string state)
{set(state);int v = g[0][1];g[0][1] = g[1][1];g[1][1] = g[1][2];g[1][2] = g[0][2];g[0][2] = v;return get();
}int bfs(string start, string end)
{if (start == end) return 0;queue<string> q;q.push(start);dist[start] = 0;while (!q.empty()){auto t = q.front();q.pop();string m[3];m[0] = move0(t);m[1] = move1(t);m[2] = move2(t);for (int i = 0; i < 3; i ++ )if (!dist.count(m[i])){dist[m[i]] = dist[t] + 1;pre[m[i]] = {'A' + i, t};q.push(m[i]);if (m[i] == end) return dist[end];}}return -1;
}int main()
{int x;string start, end;for (int i = 0; i < 8; i ++ ){cin >> x;end += char(x + '0');}for (int i = 1; i <= 8; i ++ ) start += char('0' + i);int step = bfs(start, end);cout << step << endl;string res;while (end != start){res += pre[end].first;end = pre[end].second;}reverse(res.begin(), res.end());if (step > 0) cout << res << endl;return 0;
}

代码思路

  1. 状态表示:用一个长度为8的字符串表示矩阵的状态,前四位表示第一行,后四位逆序表示第二行。
  2. 状态转换:定义了三种状态转换函数move0move1move2,分别对应三种操作。
  3. 广度优先搜索:使用BFS从初始状态开始搜索,利用一个队列来存储待探索的状态,一个哈希表dist记录每个状态到初始状态的最小步数,另一个哈希表pre记录每个状态的前驱状态和对应的操作。
  4. 路径回溯:当找到目标状态时,通过pre哈希表回溯并构造出从初始状态到目标状态的操作序列。

改进思路

  1. 减少空间消耗:使用迭代而非递归来保存路径,可以减少递归调用栈的空间消耗。
  2. 剪枝:在BFS过程中,可以添加剪枝策略,如遇到已经访问过且步数更优的状态时直接跳过,避免重复探索。
  3. 输入验证:在读取目标状态时增加输入验证,确保输入是合法的(例如,确保是0和1组成,且0和1的数量符合要求)。
  4. 优化状态表示:直接使用整型或位操作来表示状态,可能在某些情况下减少内存使用和加快状态比较速度。
  5. 清晰的函数命名和注释:增加函数和关键变量的注释,使代码更易于理解和维护。

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