1 概述！！

1.1 原型和模型

原型：客观存在的研究对象称为原型，也称为“系统”、“过程”。

机械系统、电力系统、化学反应过程、生产销售过程等都是原型； 研究原型的结构和原理， 从而进行优化、预测、评价和控制。

研究原型时的困难：无法直接研究，例如恐龙的生活习性、地质演变等问题； 不允许直接研究，例如克隆人、生化武器等； 研究成本高，具有破坏性，例如核爆炸实验等。

为了解决这些问题，引入模型！

为了一定目的，对原型的一部分进行减缩、抽象、提炼，形成的替代物。

1.2 模型的分类

概念模型：以图示、文字、符号等组成的流程图形式对事物的结构和机理进行描述的模型；概念模型只能  “知其然”，无法“知其所以然”

物理模型：根据相似原理，把客观事物按比例放大或缩小制成的模型，其结构和机理与原事物基本相同。通过dna结构的启发建立出 港珠澳大桥潮流泥沙物理模型

优点：与原型机理有一定的相似性直观形象，直观形象； 缺点：往往需要占用巨大的场地、研究成本昂贵，试验周期长。

数学模型：基于数学理论和方法，对客观事物的结构和机理进行数量化和几何化的模型。

1.3 数学建模

模型建立、模型求解、模型检验、模型应用！

2 山崖高度的估计

2.1 不考虑空气阻力

灵敏度分析

灵敏度比较好的话说明模型和结果的鲁棒性比较好！！！

2.2 考虑空气阻力

注意这个是微分方程注意微分方程的解法！！！

3 行车距离模型

这个模型通过图就知道误差太大了，因为没有考虑到车辆的性能！！！

参数估计：最小二乘法【算一下】

思想：让误差平方和达到最小！

就可以解出来了！！！！！matlab指令！！！

4 存贮模型！！！

看之前写的那个

优化问题：在一定的约束条件下寻找最佳方案达到目的！

 不允许缺货、允许缺货两种问题

不允许缺货

多少天生产一次，一次生产多少！

生产周期变长的过程中先变小再变大！

目标是：找到目标函数！！！【每天平均下来少才是真正的少！！！】

模型假设：

模型建立：

Q=rT 一次生产就要够这个周期所有的用量！！！

直线的斜率是r！！！！！！！【连续化】

总费用 = 贮存费＋生产费！

让目标函数最小，求T，那就对T求导！

模型求解：

模型解释：

敏感性分析：

自变量先变，然后T变，算出变化量！

约等那是因为：当C1趋于0的时候，就相当于求导了，然后其他的C2、r看作是常数！

负的话就是减少，正的话就是增加！

允许缺货

模型假设：

Q = T1*r

两个模型比较

在可以缺货的前提下：生产周期可以长一点，每一个周期的生产量可以减少一点！

当缺货损失特别大的时候那么 允许缺货的模型就越来越接近不允许缺货的了！

每个周期的生产量！！是坑！

5 森林灭火模型

总的费用一共有两个部分！

主要是目标函数的转换：从B(t)变成了B'(t)

面积B和t方成正比 则求导之后dB/dt 与t成正比！则面积就是原目标函数咯！！！

确定出森林灭火的面积！

当x =时，说明火势蔓延的速度 = 扑灭的速度，也就是说人要再多一点！

分析变大变小的依据只有式子！！！

6 购物效用模型【不买贵的只买对的】

贵的还是好的

增长的越来越慢！！！

三维是不好画图的所以按照组合的方法！！！

无差别曲线

效用最大化模型：两种商品可以相互替代！

几何解释相切：【无差别曲线上的效用都是一样的！！！】

二元函数求极值！

拉格朗日乘子法！

结论

！边际效用之比等于价格之比是 效用函数最大

结论：

两种商品的费用之比和商品的价格无关只和效用函数的参数有关，参数可以看作是偏爱程度

结论：

当n个商品时，单位金额边际效用相等时效用函数最大！

重点是确定效用函数

例题

计算出单位金额的边际效用！！！水果的价格用比值之后的就可以这样数比较简单好除一点！！！

15最大 则花5块钱买一千克桔子然后是 12  则再花5块钱买一千克桔子 依次类推！！！直到花够100元

两个方法比较：

7 牛奶加工【数学规划模型】

难以使用多元函数极值求出最大/最小值是因为：

在这些题目里决策变量的个数n和约束条件个数m较大、最优解在可行域的边界上取得！

因此可以通过数学规划进行求解！！

线性规划模型

模型假设：

小于和小于等于是一样的！

紧约束还是松约束？

影子价格

敏感性分析【"LINGO|Ranges"】

lingo-option-general solver-Dual Computation - price

看下面

充分条件：在这个范围里影子价格一定有意义，但不在这个范围是可能有意义的！！！！

 

8 人口模型！！

模型1假设

模型1建立：单位时间内x(t)的增量为rx(t)

与常用公式一致因为进行了泰勒展开哦

模型1求解：最小二乘法

第一个公式是4x1

模型2改进

指数增长模型只适用于短期预测不适用于长期应用

logistic模型 ！！！！！

x增加的先快后慢！

参数估计

第二个估计的比较好！

模型检验和预测

9 传染病模型！！！

SI

左右两边都是患者的数量！

最大值的一半出现拐点！！！！

SIS

左边还是一段时间内患者数量的增加！

记住感染期的定义！

SIR

移出者不会被感染了

健康人感染之后就不是健康人了而是移除者

结果分析：

10 饮酒驾车模型

 

 

11 捕鱼模型！！

 

只需要知道稳定的条件！！！

一阶微分方程平衡点！！！

 

你就别管：导数小于0就是稳定的，详情可见高等数学学习笔记——第一百讲——微分方程稳定性初步_线性微分方程组的稳定性判据-CSDN博客

最大效益模型

追求最大效益时，捕鱼的强度比最大产量时小；当前鱼的余量大于x0=（N/2）捕鱼强度小则余量剩的多！

 

12 减肥模型【差分模型】

13 贷款购房【差分方程！】

等额本息贷款找的是 每个月欠款之间的递推关系；等额本金还款找的是 每个月所还钱之间的递推关系！

钱会越还越少，因为每个月所欠的钱都会减少x0/n，那么每个月都会减少相应的利息为（x0/n）*r

则递推公式就写出来了

 

 

 

 

14 蛛网模型【物价的波动！】！！！

 

 

 

 

 

 

蛛网模型

 

 

 

 

15 教师评价模型

层次分析法

 

 

（1）归一化处理！

（2）给一个权重！

一致性检验：求出差异！

层次法的归一化就是，除以这一列的和！

例题：

16 考研高校选择[熵权法]

信息熵：

熵权法：

【1】归一化

熵权法的归一化也是除以分量和！！

【2】计算信息熵

各个指标的，一个指标的算！

【3】确定权重

17 公平席位分配！！！

为什么席位少了

比例＋惯例的方法：

 

每个席位代表的人数多了，则对A不公平！

原则就是让rA和rB尽量小！

1）分之前对A就不公平，分了之后还是不公平说明就该给A

Q值方法

但是还不是绝对公平的哦！！！！

 

18 报童模型【随机优化问题】

需求具有随机性

所以平均值就有两个部分

连续化求最大值！

19 线性回归

20 市场占有率