常见函数的导数

常量函数的导数

$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
常量函数的图像是一条水平线 $y=c$，它的斜率为0，所以我们必须有 $f^{\prime }(x)=0$。从导数的定义来看，证明也很简单：
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c-c}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h}=0$$

幂函数的导数

接下来看幂函数$f(x)=x^n$，其中$n$为正整数。当$n=1$时，函数的图像是一条直线，斜率为$1$。
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
当$n=2$或$n=3$时，根据上一节的计算，我们得知它们的导数为
$$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$$
$$\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2$$
从上面的幂函数导数，我们有理由猜测$(d/dx)(x^n)=n{x}^{n-1}$。
幂函数的导数
$$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$$
第一种证明
已知公式
$$x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots +x{a}^{n-2}+a^{n-1})$$
因此：
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}& =\underset{x\to a}{\lim }\frac{x^n-a^n}{x-a}\\ & =\underset{x\to a}{\lim }(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots +x{a}^{n-2}+a^{n-1})\\ & =a^{n-1}+a^{n-2}a+\cdots +a{a}^{n-2}+a^{n-1}\\ & =n{a}^{n-1}\end{array}$$
第二种证明
使用二项式定理进行展开：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left[x^n+n{x}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots +nh{x}^{n-1}+h^n\right]-x^n}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{n{x}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots +nh{x}^{n-1}+h^n}{h}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}h+\cdots +nh{x}^{n-1}+h^{n-1}\right]\\ & =n{x}^{n-1}\end{array}$$

例子 1
(a) 如果 $f(x)=x^6$，则 $f’(x)=6x^5$。
(b) 如果 $y=x^{1000}$，则 $y’=1000x^{999}$。
(c) 如果 $y=t^4$，则 $\frac{dy}{dt}=4t^3$。
(d) 如果 $\frac{d}{dr}(r^3)=3r^2$。

组合函数的导数

常数倍法则

如果 $c$ 是一个常数且 $f$ 是可微函数，则
$$\frac{d}{dx}[cf(x)]=c\frac{d}{dx}[f(x)]$$
证明
令 $t(x)=cf(x)$。则
$$\begin{array}{rl}t’(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{t(x+h)-t(x)}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[c\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right]\\ & =c\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =cf’(x)\end{array}$$
例子 2
(a) $\frac{d}{dx}(3x^4)=3\frac{d}{dx}(x^4)=3(4x^3)=12x^3$

(b) $\frac{d}{dx}(2x)=\frac{d}{dx}[2\cdot x]=2\cdot \frac{d}{dx}(x)=2\cdot 1=2$

和法则

如果 $f$ 和 $t$ 都是可微的，则
$$\frac{d}{dx}[f(x)+t(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]+\frac{d}{dx}[t(x)]$$

用导数符号表示，可以写成：
$$(f+t{)}^{\prime }=f^{\prime }+t^{\prime }$$

证明
令 $F(x)=f(x)+g(x)$。则
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{array}$$

和法则可以扩展到任意数量函数的和。例如，使用这个定理两次，我们得到
$$(f+t+h{)}^{\prime }=[(f+t)+h{]}^{\prime }=(f+t{)}^{\prime }+h^{\prime }=f^{\prime }+t^{\prime }+h^{\prime }$$

差法则

通过将 $f-g$ 写成 $f+(-g)$ 并应用和法则和常数倍法则，我们得到如下公式。
$$\frac{d}{dx}[f(x)-g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]-\frac{d}{dx}[g(x)]$$

常数倍法则、和法则和差法则可以与幂法则结合，来求任何多项式的导数，如下例所示。
例子 3
$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dx}(x^8+12x^5-24x^4+10x^3-26x+5)\\ & =\frac{d}{dx}(x^8)+12\frac{d}{dx}(x^5)-24\frac{d}{dx}(x^4)+10\frac{d}{dx}(x^3)-26\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\\ & =8x^7+12(5x^4)-24(4x^3)+10(3x^2)-26(1)+0\\ & =8x^7+60x^4-96x^3+30x^2-26\end{array}$$

例子 4
求曲线 $y=x^4-6x^2+4$ 上切线为水平线的点。

解
水平切线出现在导数为零的地方。我们有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-6\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(4)=4x^3-12x=4x(x^2-3)$$

因此，当 $x=0$ 或 $x^2-3=0$ 时，即 $x=\pm \sqrt{3}$，导数为零。因此，给定曲线在 $x=0,\sqrt{3},-\sqrt{3}$ 时有水平切线。相应的点是 $(0,4)$，$(\sqrt{3},-5)$ 和 $(-\sqrt{3},-5)$。

例子 5
粒子的运动方程是 $s=2t^3-5t^2+13t+4$，其中 $s$ 的单位是厘米，$t$ 的单位是秒。求加速度作为时间的函数。2秒后的加速度是多少？

解
速度和加速度是
$$v(t)=\frac{ds}{dt}=6t^2-10t+13$$
$$a(t)=\frac{dv}{dt}=12t-10$$

2秒后的加速度是$a(2)=12(2)-10=24-10=14{\text{ cm/s}}^2$

乘积法则

如果 $f$ 和 $t$ 都是可微的，则
$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+t(x)\frac{d}{dx}[f(x)]$$

证明
令 $F(x)=f(x)t(x)$。则
$$F^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)t(x+h)-f(x)t(x)}{h}$$
为了求解这个极限，我们希望像在和法则的证明中那样，将函数 $f$ 和 $g$ 分开。我们可以通过在分子中加上和减去 $f(x+h)g(x)$ 来实现这种分离：
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)t(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}+\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right]\\ & =f(x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{t(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x)\end{array}$$
简而言之，乘积法则表明，两个函数的乘积的导数是第一个函数乘以第二个函数的导数加上第二个函数乘以第一个函数的导数。

例子 6
如果 $h(x)=xg(x)$ 并且已知 $g(3)=5$ 和 $g^{\prime }(3)=-2$，求 $h^{\prime }(3)$。

解
应用乘积法则，我们得到
$$h^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[xg(x)]=x\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[x]=x{g}^{\prime }(x)+g(x)\cdot 1$$

因此，
$$h^{\prime }(3)=3t^{\prime }(3)+t(3)=3\cdot (-2)+5=-6+5=-1$$

商法则

如果 $f$ 和 $g$ 可微，则
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x){]}^2}$$

用导数符号表示：
$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

证明
令 $F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$。则
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\end{array}$$

我们可以通过在分子中加上和减去 $f(x)g(x)$ 来将 $f$ 和 $g$ 分开：
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{hg(x)g(x+h)}+\frac{f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}-\frac{f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}\right]\\ & =\frac{g(x)f^{\prime }(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{{\left[g(x)\right]}^2}\end{array}$$

因为$g$ 在 $x$ 处是连续的，所以 ${\lim }_{h\to 0}g(x+h)=g(x)$。

用语言描述，商法则表示一个商的导数是分母乘以分子导数减去分子乘以分母导数，然后除以分母的平方。
例子 7
令 $y=\frac{x^3+1}{x^2+2x+1}$。则
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{(x^2+2x+1)\frac{d}{dx}(x^3+1)-(x^3+1)\frac{d}{dx}(x^2+2x+1)}{(x^2+2x+1{)}^2}\\ & =\frac{(x^2+2x+1)(3x^2)-(x^3+1)(2x+2)}{(x^2+2x+1{)}^2}\\ & =\frac{(3x^4+6x^3+3x^2)-(2x^4+2x^3+2x+2x^3+2)}{(x^2+2x+1{)}^2}\\ & =\frac{3x^4+6x^3+3x^2-2x^4-4x^3-2x^3-2x-2}{(x^2+2x+1{)}^2}\\ & =\frac{x^4+2x^3+3x^2-2x-2}{(x^2+2x+1{)}^2}\end{array}$$

注意
不要每次看到商都使用商法则。有时候，先重写商使其形式更简化以便求导会更容易。例如，尽管可以使用商法则来求导函数 $F(x)=\frac{3x^2+1}{2x}$，但更简单的方法是先进行除法，写成
$$F(x)=\frac{3x^2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3x}{2}+\frac{1}{2x}$$
然后再求导。

一般幂函数

商法则可以用来将幂法则扩展到指数为负整数的情况。

如果 $n$ 是正整数，则
$$\frac{d}{dx}(x^{-n})=-n{x}^{-n-1}$$

证明
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(x^{-n})& =\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^n}\right)\\ & =\frac{x^n\cdot \frac{d}{dx}(1)-1\cdot \frac{d}{dx}(x^n)}{(x^n{)}^2}=\frac{0-n{x}^{n-1}}{x^{2n}}\\ & =-n\frac{x^{n-1}}{x^{2n}}=-n{x}^{-n-1}\end{array}$$

例子 8
(a) 如果 $y=\frac{1}{x}$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

(b)$\frac{d}{dt}\left(\frac{6}{t^3}\right)=6\frac{d}{dt}(t^{-3})=6\cdot (-3t^{-4})=-18t^{-4}$

到目前为止，我们知道当指数 $n$ 是正整数或负整数时，幂法则成立。如果 $n=0$，则 $x^0=1$，其导数为 $0$。因此，幂法则对任何整数 $n$ 都成立。那么如果指数是分数呢？在前面章节得例子中，我们发现
$$\frac{d}{dx}(x^{1/2})=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$$
这表明幂法则在 $n=1/2$ 时也成立。事实上，它对任何实数 $n$ 都成立，我们将在后面的章节中证明这一点。

幂法则（一般版本）

如果 $n$ 是任意实数，则
$$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$$

例子 9
(a) 如果 $f(x)=x^{\pi }$，则
$$f^{\prime }(x)=\pi x^{\pi -1}$$

(b) 如果 $y=\frac{1}{3x^2}$，则
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(3^{-1}{x}^{-2})=3^{-1}\cdot -2x^{-3}=-\frac{2}{3x^3}$$

例子 10
求函数 $f(t)=t\sqrt{a+bt}$ 的导数。

解
使用乘积法则，我们有
$$f^{\prime }(t)=t\frac{d}{dt}(\sqrt{a+bt})+\sqrt{a+bt}\frac{d}{dt}(t)$$
$$=t\cdot \frac{b}{2\sqrt{a+bt}}+\sqrt{a+bt}\cdot 1$$
$$=\frac{bt}{2\sqrt{a+bt}}+\sqrt{a+bt}$$

微分法则使我们能够找到切线，而无需求助于导数的定义。它还使我们能够找到法线。曲线 $C$ 在点 $P$ 处的法线是通过 $P$ 的与 $P$ 处的切线垂直的线。（在光学研究中，需要考虑光线与透镜法线之间的角度。）

例子 11
求曲线 $y=\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}$ 在点 $(1,\frac{1}{2})$ 处的切线和法线的方程。

解
根据商法则，我们有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+x^2)\cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})-\sqrt{x}\cdot \frac{d}{dx}(1+x^2)}{(1+x^2{)}^2}=\frac{(1+x^2)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}$$

简化得
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1+x^2}{2\sqrt{x}}-2x\sqrt{x}}{(1+x^2{)}^2}=\frac{\frac{1+x^2-4x^2}{2\sqrt{x}}}{(1+x^2{)}^2}=\frac{\frac{1-3x^2}{2\sqrt{x}}}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1-3x^2}{2\sqrt{x}(1+x^2{)}^2}$$

所以在点 $(1,\frac{1}{2})$ 处切线的斜率是
$${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=\frac{1-3\cdot 1^2}{2\cdot \sqrt{1}\cdot (1+1^2{)}^2}=\frac{1-3}{2\cdot 1\cdot (1+1{)}^2}=\frac{-2}{2\cdot 4}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$$

我们使用点斜式来写在点 $(1,\frac{1}{2})$ 处切线的方程：
$$y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-1)\text{或}y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$$

在点 $(1,\frac{1}{2})$ 处法线的斜率是 $-\frac{1}{4}$ 的负倒数，即 4，因此法线的方程是
$$y-\frac{1}{2}=4(x-1)\text{或}y=4x-\frac{7}{2}$$

曲线及其切线和法线如图所示。

例子 12
双曲线 $xy=12$ 上的哪些点处的切线与直线 $3x+y=0$ 平行？

解
由于 $xy=12$ 可以写成 $y=\frac{12}{x}$，我们有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{12}{x}\right)=12\cdot \frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=12\cdot (-x^{-2})=-\frac{12}{x^2}$$

令所求点的 $x$ 坐标为 $a$，则切线的斜率为
$$-\frac{12}{a^2}$$

切线与直线 $3x+y=0$ 平行，这意味着两条直线的斜率相同。直线 $3x+y=0$ 的斜率为 $-3$。因此，
$$-\frac{12}{a^2}=-3$$

解这个方程，我们得到
$$\frac{12}{a^2}=3$$
$$a^2=\frac{12}{3}$$
$$a^2=4$$
$$a=2\text{或}a=-2$$

因此，$x$ 坐标为 $2$ 或 $-2$ 的点上，切线与直线 $3x+y=0$ 平行。

对应的 $y$ 坐标为：
当 $a=2$ 时，$y=\frac{12}{2}=6$，
当 $a=-2$ 时，$y=\frac{12}{-2}=-6$。

所以切线与直线 $3x+y=0$ 平行的点是 $(2,6)$ 和 $(-2,-6)$。

我们总结一下迄今为止学到的微分公式如下：

微分公式表

$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dx}(c)=0\\ & \frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}\\ & \frac{d}{dx}(cf)=c{f}^{\prime }\\ & (f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }\\ & (f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }\\ & (fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+g{f}^{\prime }\\ & {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g^2}\end{array}$$