要求解一个系统的稳态输出，需要根据系统的类型（如线性时不变系统、非线性系统等）、输入信号的性质（如阶跃信号、正弦信号等）以及系统的描述方法（如微分方程、状态空间模型等）。这里主要介绍线性时不变系统（LTI系统）的稳态输出求解方法：

对于LTI系统

1. 系统描述和输入信号：
   首先，确认系统的描述（传递函数、冲击响应、差分/微分方程）和输入信号的类型。

2. 使用传递函数求解稳态输出：
   如果系统以传递函数 $H(s)$ 描述，并且输入信号 $X(s)$ 是已知的，可以通过计算系统输出的拉普拉斯变换 $Y(s)$ 来求解。

   $Y(s)=H(s)\times X(s)$

   对于稳态输出，我们关心的是 $s$ 趋近于零的情形（对于直流输入）或者输入信号频率的特定值（对于周期性输入）。

3. 正弦稳态响应：
   对于正弦输入 $x(t)=A\sin (\omega t+\varphi )$，其拉普拉斯变换是 $X(s)=\frac{A\omega }{s^2+{\omega }^2}$。将 $X(s)$ 代入 $Y(s)=H(s)X(s)$，然后通过求逆拉普拉斯变换找到 $y(t)$。通常情况下，只需考虑系统对于频率为 $\omega$ 的正弦波的响应。这可以通过计算 $H(j\omega )$ 来获得，其中 $j$ 是虚数单位。系统的输出将是：

   $y(t)=|H(j\omega )|A\sin (\omega t+\varphi +\arg (H(j\omega )))$

   其中，$|H(j\omega )|$ 是振幅增益，$\arg (H(j\omega ))$ 是相位移。

4. 阶跃稳态响应：
   对于阶跃输入 $x(t)=u(t)$，其拉普拉斯变换为 $X(s)=\frac{1}{s}$。计算 $Y(s)=H(s)\frac{1}{s}$，并求逆拉普拉斯变换找到 $y(t)$。在稳态（$t\to \infty$）时，输出 $y(t)$ 通常会趋于一个常数值，这个值可以通过计算 ${\lim }_{s\to 0}sY(s)$ 来获取。

对于非线性或时变系统

对于非线性或时变系统，稳态输出的分析更为复杂，可能需要使用数值方法、仿真或者特定的解析技术来求解。通常，这些系统无法简单使用传递函数描述，而是需要依靠状态空间表示或非线性动力学分析。

实际应用

在工程实践中，通常使用计算软件（如MATLAB）来处理这些计算，尤其是在输入信号复杂或系统响应难以解析求解时。软件工具可以提供快速准确的稳态响应分析，特别是在设计控制系统或电子电路时。